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Bac Maths

Nouvelle Calédonie 

Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, nous avons un cube avec un repère et différents vecteurs exprimés en fonction des vecteurs AB, AD et AE. Le but est de déterminer les coordonnées d'un point, montrer qu'un vecteur est normal à un plan, donner une équation cartésienne du plan et une représentation paramétrique d'une droite. 

D'abord, nous devons trouver les coordonnées du point G en exprimant le vecteur AG en fonction des vecteurs de base. En utilisant les relations données, on trouve que les coordonnées de G sont 3, 2 et 1. 

Ensuite, nous devons montrer que le vecteur N de coordonnées 2, 0 et -3 est normal au plan EHI et déterminer une équation cartésienne de ce plan. En utilisant les coordonnées du vecteur, nous écrivons une équation cartésienne de la forme 2X + 0Y - 3Z + D = 0 et trouvons que D = 3. L'équation cartésienne de EHI est donc 2X - 3Z + 3 = 0.

Nous devons également trouver les coordonnées du point I en utilisant le fait que le triangle EIF est isocèle en I. Nous trouvons que les coordonnées de I sont 3.5, 0 et 2.

Ensuite, nous devons mesurer l'angle EIF avec précision. En utilisant le produit scalaire, nous calculons le cosinus de l'angle et trouvons qu'il est égal à -5/13. En utilisant la fonction arc cosinus, nous trouvons que l'angle EIF est d'environ 112.6 degrés.

Enfin, nous devons donner une représentation paramétrique de la droite delta qui passe par le point R de coordonnées 6, -3, -1 et est dirigée par le vecteur U de coordonnées -3, 4, 1. La représentation paramétrique de delta est donc X = 6 - 3T, Y = -3 + 4T, Z = -1 + T.

Pour déterminer les coordonnées du point K, intersection de la droite delta et du plan BFG, nous utilisons la représentation paramétrique de delta en égalant X à 3. En trouvant la valeur de T qui vérifie cela, nous trouvons que les coordonnées de K sont 3, 1, 0.

Finalement, nous vérifions que le point K appartient bien à la rète BC en utilisant une équation de droite ou en remarquant que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et C, indiquant que K est le milieu de BC et donc appartient au segment BC.

Salut, bienvenue dans cet exercice de BAC sur la géométrie dans l'espace. Là, c'est un exercice qui tombe assez régulièrement. On a une figure avec un cube. On a dedans un repère. L'origine du repère, c'est A. Ensuite, les vecteurs de base, c'est I, J et K, qui sont exprimés en fonction du vecteur AB, du vecteur AD et AE. On donne les relations ici. Le but va être, comme dans presque tous les exercices de géométrie, d'avoir certaines coordonnées, de montrer qu'un vecteur est un vecteur normal à un plan, de donner une équation cartésienne d'un plan, de donner aussi une représentation paramétrique d'une droite. Ici, on nous demande. Et un point d'intersection entre une représentation paramétrique, entre une droite et un plan, dont on connaît l'équation cartésienne, et la droite connaît sa représentation paramétrique. C'est très classique. On va aborder cet exercice. C'est parti. On a la figure. On nous dit de donner les coordonnées du point G. Pour trouver les coordonnées du point G, ce n'est pas trop de le faire graphiquement comme ça. On va essayer d'exprimer le vecteur AG, parce que A, c'est l'origine, en fonction des vecteurs de la base, en fonction de I, J et K. Ce qu'on sait, c'est que AG, c'est AB plus BC plus CG. Mais étant donné qu'on est dans un cube, BC, c'est AD, et CG, c'est AE. On a AG qui est AB plus AD plus AE. On utilise les relations qu'on nous donne là, pour dire que finalement, AG, c'est 3I plus 2J plus K. On a les coordonnées de G qui sont 3, 2 et 1. Le point G a pour coordonnées 3, 2 et 1. Ensuite, on nous demande de montrer que le vecteur N... Non, pardon. On nous dit que le vecteur N de coordonnées 2, 0 et moins 3, c'est un vecteur normal au plan EHI. On nous demande d'en déterminer une équation cartésienne de ce plan EHI. Étant donné que c'est un vecteur normal, on sait qu'une équation cartésienne... Les coordonnées du vecteur, c'est 2, 0 et moins 3. On sait qu'une équation cartésienne sera 2X plus 0Y moins 3Z plus D est égal à 0. Sachant cela, il ne reste que D à trouver. Pour cela, on prend un point qui est sur le plan. On remplace XYZ par les coordonnées de ce point qui est sur le plan. Cela nous fera une équation inconnue en D. On sait que E de coordonnées 0, 0, 1 est sur le plan EHI. Il y a E dans les lettres. En remplaçant XYZ par les coordonnées de E, on trouve que moins 3 plus D est égal à 0. Très rapidement, D est égal à 3. On a une équation cartésienne de EHI qui est 2X moins 3Z plus 3 égal à 0. Question 3. Déterminer les coordonnées du point I. Si on revient dans l'énoncé, on nous dit que EIF est isocèle en I. Donc EIF isocèle en I. C'est ce qu'on va utiliser, le triangle EIF. Où est-ce que j'en étais ? EIF isocèle en I. Le projeté orthogonal de I sur le segment AB, c'est le milieu de AB. Cela a la même abscisse que le milieu de AB qui est 3,5. I a pour ordonnée 0. Son abscisse est 3,5. Son ordonnée, c'est 0. Sa hauteur, qu'on appelle ZI, c'est là qu'il faut la déterminer. Mais on sait que I appartient au plan EHI. Ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan. Si on remplace ces coordonnées dans l'équation cartésienne du plan, on trouve 0. Finalement, ça nous fait une équation en une inconnue en ZI. On trouve que ZI est égale à 2. Les coordonnées de I sont 3,5, 0, 2. Ensuite, déterminer une mesure au degré près de l'angle EIF. C'est très classique de demander des mesures d'angle dans un exercice de géométrie. Il faut le faire avec le produit scalaire. Il faut calculer le produit scalaire. On va voir de quel vecteur. On va calculer le produit scalaire en utilisant la formule avec les coordonnées. Et en utilisant la formule qui fait intervenir le cosinus de cet angle, qui nous permettra de déterminer la valeur du cosinus et ensuite la valeur de l'angle. On a E et F qui ont ces coordonnées-là. On calcule les coordonnées des vecteurs IE et IF en utilisant les formules de coordonnées qu'on connaît depuis plusieurs années. IE est égale à IF, étant donné que le triangle EIF est isocèle en I. Pour calculer ça, on prend par exemple celui-ci, racine carrée de 3,5 au carré plus ou moins 1 au carré. Normalement, on aurait dû écrire aussi plus 0 au carré puisque c'est la formule de la norme d'un vecteur, du vecteur IF. La formule, c'est racine carrée de première coordonnée au carré plus deuxième coordonnée au carré plus troisième coordonnée au carré. La deuxième fait 0, donc on ne l'écrit pas. Ça nous fait racine carrée de 9,25 plus 4,25. Après simplification, ça fait racine carrée de 13 sur 2. Le produit scalaire IE scalaire IF, c'est IE fois IF fois cos de EIF, de l'angle EIF. Finalement, ce qui nous intéresse, c'est ça. On passe de l'autre côté en divisant. Le cos de EIF, c'est IE scalaire IF divisé par IE fois IF, les longueurs. Mais du coup, IE scalaire IF, si on utilise la formule avec les coordonnées, étant donné qu'on a les vecteurs, la formule du produit scalaire avec les coordonnées, c'est première fois première plus deuxième fois deuxième plus troisième fois troisième. C'est ce qu'on écrit ici. On calcule et on trouve moins 5 quarts. Ça veut dire finalement, on connaît ça, donc on va pouvoir calculer le cosinus. Le cosinus, c'est moins 5 quarts divisé par 13 quarts. En simplifiant, en multipliant par 4 en haut et en bas, on trouve que ça nous fait moins 5 sur 13, le cosinus de EIF. EIF, finalement, c'est arc cos, cos moins 1, qu'on trouve aussi sur la calculatrice, de moins 5 sur 13, ce qui nous fait à peu près 112,6 degrés. Question 5 maintenant. On nous dit, afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison. Ça, c'est un peu de contexte, si on veut. Le relais est représenté par le point R de coordonnée 6, moins 3, moins 1. La tranchée est assimilée à un segment d'une droite delta passant par R et dirigé par le vecteur U de coordonnée moins 3, 4, 1. Là, on sent un peu ce qui va se passer. On sait que le point R est dessus. On a un vecteur, on nous dit dirigé par le vecteur U, donc on a un vecteur directeur. On sent la représentation paramétrique qui va arriver. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra le niveau de la maison. Donner une représentation paramétrique de la droite delta. Comme je le disais, on a un point R de coordonnée 6, moins 3, moins 1 qui appartient à la droite delta. U est un vecteur directeur. Les coordonnées de U, c'est moins 3, 4, 1. Une représentation paramétrique de delta, c'est... On note X, Y, Z, égal, égal, égal. Là, on retrouve les coordonnées de R, plus... On retrouve les coordonnées de U, fois T, fois T, fois T à chaque fois. On simplifie les écritures et ça nous fait 6, moins 3 T, 4 T, moins 3 et T, moins 1. C'est comme ça qu'on fait une représentation paramétrique quand on a un point qui appartient à la droite et un vecteur directeur de la droite. Ensuite, on admet qu'une équation du plan BFG, c'est X égale 3. Une équation assez simple. Soit K, le point intersection de la droite delta avec le plan BFG, déterminait les coordonnées du point K. Déjà, on nous dit que X égale 3, donc on sait que le point K aura pour abscisse 3. Le point K, c'est le point intersection de la droite delta et du plan BFG. Il appartient à la droite delta, ça veut dire qu'on peut utiliser la représentation paramétrique avec ces coordonnées qu'on a notées X, Y et Z. Son abscisse vérifie ça, son Y vérifie ça, son Z vérifie ça. C'est-à-dire qu'il existe un certain T qui vérifie ça. Il appartient au plan, donc X égale 3. Vu que X égale 3, on va réécrire cette première ligne avec X égale 3. On a 6 moins 3, T égale 3. Rapidement, équation d'une inconnue en T. T égale 1. Vu que T égale 1, on peut remplacer T par 1 dans ces deux équations pour Y et Z. On trouve rapidement que Y égale 1 et Z égale 0. On a les coordonnées de K qui sont 3, 1, 0. Ensuite, on nous demande, le point K appartient-il bien à la rète BC ? Là, quelque chose qu'il faut regarder. Si on a tout ça sous les yeux, on voit un peu ce qui se passe. Parce que si on ne voit pas ce qui se passe, ce n'est pas grave. Ce qu'on fait, c'est qu'on écrit une équation de droite de BC avec la formule qu'on connaît. On peut écrire soit une représentation paramétrique de la droite BC, soit on peut écrire une équation cartésienne de la droite, peu importe. On peut le faire en écrivant l'équation de droite BC et voir si les coordonnées du point K vérifient. Sinon, ce qu'on peut remarquer, c'est que les coordonnées de K vérifient les demi-sommes des coordonnées de B et C. En gros, la moyenne des coordonnées. Là, 3, c'est 3 plus 3 divisé par 2. 1, c'est 0 plus 2 divisé par 2. Et 0, c'est 0 plus 0 divisé par 2. Et ayant ça, ça nous dit exactement que K, c'est le milieu de BC. Étant donné que c'est le milieu de BC, il appartient au segment BC. Voilà ce qui conclut cet exercice.

Géométrie - Nouvelle Calédonie 2022

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