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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Amérique Nord 1

Dans cette vidéo, Matisse de Studio aborde l'exercice C qui porte sur les mouvements de planètes. L'exoplanète étudiée est nommée 51 Peg B et orbite autour de l'étoile 51 Peg A. Les données disponibles comprennent la distance entre la Terre et l'étoile, la masse de l'étoile, la masse du Soleil et la constante de gravitation universelle. 

La première partie de l'exercice se concentre sur l'étude du système double 51 Peg. L'étoile 51 Peg A effectue un mouvement circulaire uniforme autour du centre de masse B du système double. La coordonnée de son vecteur vitesse varie en fonction de sa position. Cette variation de coordonnée est détectée à travers l'effet induit sur le spectre lumineux de l'étoile. Il est demandé de mesurer avec précision la période de révolution de l'exoplanète 51 Peg B, qui est de 4,2 jours. 

Ensuite, il est indiqué que le mouvement de 51 Peg B autour de son étoile est un mouvement circulaire uniforme qui vérifie la troisième loi de Kepler. À partir de cette loi, il est possible de déterminer que la distance r entre la planète 51 Peg B et son étoile est de 7,5 × 10^6 km. 

L'étape suivante consiste en une analyse dimensionnelle pour choisir la bonne expression de la troisième loi de Kepler. En éliminant les réponses incohérentes, il est conclu que l'expression a, t^2/r^3 = 4π^2/G × masse de 51 Peg A, est la bonne réponse. 

Dans la question suivante, il est demandé de retrouver la valeur de la distance r entre la planète et son étoile en utilisant la formule précédemment démontrée. Le résultat obtenu est de 7,49 × 10^6 km, en accord avec les données fournies. 

Enfin, il est demandé de comparer les caractéristiques du système double 51 Peg avec celles du système Mercure-Soleil. Il est constaté que bien que les rayons des orbites soient 9 fois plus grands pour 51 Peg B, la période de révolution de Mercure est 21 fois plus importante. Cela s'explique par les différences dans les puissances présentes dans la troisième loi de Kepler. 

Ce résumé met en évidence les principales étapes et résultats de l'exercice C sur les mouvements de planètes. Il reste important de comprendre les concepts et les calculs détaillés pour une meilleure compréhension.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on attaque le dernier exercice de cette annale, c'est l'exercice C, et c'est un exercice sur les mouvements de planètes. C'est parti, l'exercice C c'est une exoplanète 51 Peg B, qui vaut toujours 5 points, les mots-clés sont les suivants, 3e lois de Kepler dans le cadre du mouvement circulaire et modèle optique d'une lunette astronomique, donc on a deux notions un peu particulières mais qui se réfèrent bien sûr à la même entité. Alors, en 2019, Michel Maillard et Didier Queloz obtiennent le prix Nobel pour la découverte en 1995 d'une exoplanète qu'ils nomment 51 Peg B, orbitant autour d'une étoile de type solaire nommée 51 Peg A, donc déjà il ne faut pas se perdre dans les notations qui sont un peu inhabituelles. Alors, quelles sont les données dont on dispose ? On a la distance entre la Terre et l'étoile 51 Peg A, qui nous est donnée, la masse de l'étoile 51 Peg A, la masse du Soleil et la constante de gravitation universelle G. Alors, on commence par la partie A dans cette vidéo, l'étude du système double 51 Peg. Donc, dans le cas du système double constitué de l'exoplanète et de son étoile, les deux astres orbitent chacun autour du centre de masse B du système double. Très bien, l'étoile 51 Peg A est animée d'un mouvement circulaire uniforme autour de B et qui se manifeste par une variation de la coordonnée de son vecteur en vitesse selon l'axe de visée. Le début de l'exercice n'est vraiment pas simple, il ne faut pas se perdre et on s'accroche. Sur la figure suivante, le vecteur vitesse de l'étoile est représenté par une flèche, sa coordonnée selon l'axe de visée est positive et maximale pour les positions 1, nulle pour les positions 2 et 4 et négative et minimale pour la position 3. Ok, ça marche ? Alors, qu'est-ce qu'on peut en faire de tout ça ? On détecte la variation de la coordonnée de ce vecteur en vitesse à travers l'effet induit sur le spectre lumineux de l'étoile, cette coordonnée varie de façon périodique, la période correspond également à la période de révolution de l'exoplanète autour de son étoile. Bon, il y a beaucoup, beaucoup d'informations compliquées dans ce début d'exercice, alors ce qui fait que la plupart des élèves vont avoir tendance à ne pas forcément aller vers cet exercice. On va voir que les notions mobilisées ne sont pas forcément plus compliquées, il faut juste ne pas se perdre au début. Alors, mesurez avec le plus de précision possible la période de révolution T de l'exoplanète 51B autour de son étoile. Donc, ça correspond au relevé qu'il y a juste avant, et bien, il faut simplement déterminer la période de ce signal. La période de ce signal, on se souvient, pour éviter les erreurs, on en capture le maximum possible. Donc ici, si on part du début, on peut compter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 périodes qui se déroulent entre 1 et 39 jours, donc on a 9 périodes sur 38 jours, la période de révolution est donc de 4,2 jours. Voilà ce qu'on pouvait dire pour commencer. Alors ensuite, le mouvement de 51B autour de son étoile est un mouvement circulaire uniforme, vérifiant la troisième loi de Kepler. Ok, on est à l'aise avec ça. Par application de cette loi, on montre que la valeur de la distance r séparant la planète 51B de son étoile est égale à 7,5 10 puissance 6 km. Alors maintenant, choisir en argumentant parmi les quatre expressions suivantes, celle qui correspond à la troisième loi de Kepler pour la situation étudiée. L'argumentation devra s'appuyer notamment sur une analyse dimensionnelle. Alors, une analyse dimensionnelle, c'est très très sophistiqué, c'est très joli en physique, donc on va pouvoir se pencher là-dessus, ça fait plaisir d'en avoir dans les sujets de bac. Alors, pour une analyse dimensionnelle, on va vérifier déjà que les expressions proposées sont cohérentes au niveau de dimension, parce qu'il y en a beaucoup qui ne le sont pas, donc qui ne peuvent même pas prétendre au titre d'équation de troisième loi de Kepler. Donc, d'un côté, on a une période au carré divisée par un rayon au cube. Donc, par analyse dimensionnelle, la dimension de ce terme, c'est l-3 t au carré. Très bien. Maintenant, si on continue, on peut se demander, en évaluant le deuxième, quelle est la dimension de g ? C'est quelque chose qui ne nous est pas forcément, c'est pas quelque chose qu'on a directement en tête forcément. Donc, si on n'a pas la dimension d'une grandeur particulière, il faut se raccrocher à une formule connue. Je vous invite à réviser cette partie si vous ne la maîtrisez pas tant dans les parties avant. Alors là, je remarque d'ailleurs, direct, ça a dû vous piquer aussi, j'ai mis une force égale à un scalaire. Bon, il faut bien sûr, ici, mettre un vecteur au bout pour que ce soit juste. J'étais happé totalement par les dimensions. Donc, on se souvient, g, ça intervient dans l'expression de la force gravitationnelle. Donc, si on exprime cette force gravitationnelle, on va pouvoir en déduire l'unité de g. La force gravitationnelle, il faut la connaître, c'est g fois m1 fois m2 divisé par r2. Donc, la dimension d'une force, on le sait, c'est mlt-2. La dimension de r, c'est une longueur, donc, l, et puis les deux masses ici, ce qui fait qu'en multipliant et en divisant, on trouve que la dimension de g, c'est m-1 l puissance 3 t-2. Donc, à partir de là, on peut en déduire la dimension de g fois m, c'est l puissance 3 fois t-2. En fait, c'est exactement l'inverse de t au carré divisé par r3. Donc, par dimension, on peut déjà éliminer, par cette analyse dimensionnelle plutôt, on peut déjà éliminer la réponse b et la réponse d, puisque ici, g fois m se trouve au numérateur, en partie dimension, il devrait être au dénominateur. Et ici, g divisé par m, ce n'est même pas envisageable, puisqu'il faut que ce soit g fois m au dénominateur. Donc, les deux qui respectent ça, c'est a et c. Alors maintenant, comment est-ce qu'on peut les départager ? On n'a qu'à se pencher sur leurs différences. En fait, c'est simplement que la masse du Soleil intervient dans la c, tandis que la masse de l'étoile 51 Pec A intervient dans l'autre. En fait, il n'y a aucune raison que le Soleil intervienne dans l'équation, puisqu'on regarde une étoile qui est toute autre, avec son propre système, son propre référentiel. Donc, il ne faut pas avoir le réflexe de tout le temps inclure le Soleil dans nos calculs, vu qu'ici, c'est une étude mécanique astronomique d'un tout autre système, le Soleil n'a rien à faire là-dedans. Donc, la bonne formule, c'est la réponse a, t au carré divisé par r au cube est égale à 4pi carré divisé par g fois la masse de 51 Pec A. Voilà la réponse à cette question. Maintenant, question 3, retrouver la valeur de la distance r séparant la planète 51 Pec B de son étoile. Alors, pour ça, on utilise la formule qu'on vient de démontrer, c'est pratique. On a donc r3 qui est égale à t carré fois g fois m51 Pec A, le tout divisé par 4pi carré. Donc, pour en déduire le rayon en question, r, on a simplement à prendre la racine cubique de cette expression. Et en passant à l'application numérique avec tout ce dont on a besoin, eh bien, on trouve 7,49 fois 10 puissance 6 kilomètres. Et c'est effectivement une, on peut vérifier, on nous donnait une distance, il me semble, dans ces eaux là, la distance, je ne sais plus où la retrouver, oui, juste ici, sa distance était de 7,5 10 puissance 6 kilomètres, donc la valeur que l'on trouve est totalement en concordance avec cette donnée. Voilà, ensuite, dans le système solaire, la planète Mercure est la plus proche du soleil. Elle décrit une orbite quasi circulaire de rayons égales à 5,8 10 puissance 7 kilomètres en 88 joues. Très bien, maintenant, il faut comparer les caractéristiques du système double constitué de l'exoplanète 51 Pec B et son étoile 51 Pec A à celle du système Mercure-Soleil. Et bien on va comparer justement ces deux grandeurs là, le rayon et puis la période. Si on calcule les différents ratios, et bien le ratio des rayons considérés et puis le ratio des périodes considérées, on voit que bien qu'elles ne soient que 9 fois plus grandes, Mercure a une période de révolution 21 fois plus importante. C'est ce qui est démontré. Et en fait, c'est logique que ce ne soit pas linéaire, vu qu'en fait, les deux correspondent à la loi de Kepler, à la troisième loi de Kepler, et bien on a des puissances différentes ici. C'est-à-dire que le rayon augmente bien plus vite que la période de révolution, c'est pourquoi on a ces différences juste ici. Donc voilà ce qu'on pouvait dire pour cette partie A de cet exercice, donc clairement pas un exercice classique, usuel, c'est vraiment pour ceux qui ont approfondi ces différentes méthodes, il ne faut pas se laisser décompenser, on peut y arriver quand même avec les outils qu'on a développés dans les différentes vidéos précédentes, il faut prendre son temps, et au final ça se fait plutôt rapidement si on arrive à bien comprendre de quoi il s'agit. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, on se retrouve dans la prochaine pour terminer ce sujet. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Une exoplanète (1)

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