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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Amérique Sud 1

Dans ce troisième exercice, nous abordons le sujet de la défibrillation cardiaque implantable. Nous nous intéressons plus particulièrement à la charge et à la décharge d'un condensateur, au temps caractéristique et à l'équation différentielle. 

La défibrillation est une méthode utilisée pour réguler le rythme cardiaque. Elle consiste à appliquer un choc électrique bref au cœur du patient. Un défibrillateur interne est un petit boîtier implanté dans le corps du patient. Il est composé d'une pile au lithium qui fournit l'énergie nécessaire au dispositif, de circuits électroniques qui analysent le rythme cardiaque et déclenchent un choc si nécessaire, de condensateurs qui stockent l'énergie du choc, et d'électrodes qui relient le dispositif au cœur.

Le fonctionnement du défibrillateur se divise en deux phases. Dans la première phase, le condensateur se charge lorsque l'interrupteur K1 est fermé et K2 est ouvert. Dans la deuxième phase, le condensateur se décharge lorsque K2 est fermé et K1 est ouvert, et c'est à ce moment-là que le choc électrique est appliqué.

Quatre graphiques représentent les différentes évolutions possibles de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la première phase. On peut éliminer les graphiques 1 et 2 car le condensateur n'est pas initialement déchargé. Le graphique 4 est également incorrect car il montre une tension de 800 V à la fin de la phase, ce qui n'est pas possible. Le graphique 3 correspond à l'évolution de la tension.

L'équation différentielle vérifiée par la tension UC lors de la deuxième phase peut s'écrire comme suit : RC * dUC/dt + UC = 0, où RC est le temps caractéristique du circuit RC.

Le temps caractéristique tau peut être exprimé en fonction de R et C, et sa valeur est calculée à 0,5 millisecondes.

En utilisant la condition initiale selon laquelle la tension au bord du condensateur UC en T1 est égale à 800 volts, on peut déterminer la valeur du paramètre A de la solution de l'équation différentielle. A est égal à 800 volts.

La durée approximative du choc électrique peut être estimée en utilisant le temps caractéristique. Par convention, on considère que le régime permanent est atteint après environ 5 fois le temps caractéristique. Donc, la durée approximative du choc électrique est d'environ 2,5 millisecondes.

Enfin, l'allure de la tension au bord du condensateur en fonction du temps lors d'un cycle complet charge-décharge peut être représentée par une phase de charge suivie d'une phase de décharge.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans ce troisième exercice, on va aborder un côté plutôt électricité. Alors, l'exercice B s'attarde du coup sur un défibrillateur cardiaque implantable. Les mots clés sont les suivants. Charge et décharge d'un condensateur, temps caractéristique, équation différentielle. Voilà, c'est des notions vraiment très classiques quand on parle d'électricité. Alors, la défibrillation, c'est une méthode utilisée afin de régulariser le rythme cardiaque. La méthode consiste à appliquer un choc électrique très bref au cœur du patient. Un défibrillateur interne est un petit boîtier qui est implanté dans le caractère du patient. Et ce boîtier, il comporte trois éléments fondamentaux. Une pile à eau lithium permettant l'apport d'énergie nécessaire en fonctionnement de dispositif. Elle délivre une tension à vide UG qui est égale à 3 volts. Des circuits électroniques permettant, entre autres choses, d'analyser le rythme cardiaque du patient, de reconnaître des troubles et déclencher un choc en cas de nécessité. Des condensateurs qui permettent de stocker l'énergie qui sera délivrée lors d'un choc. Et des électrodes qui relient le dispositif au cœur du patient. Donc, on a le schéma ci-dessous qui représente le tout. Et puis le fonctionnement du défibrillateur se compose en deux phases. Dans cette première phase, l'interrupteur K1 est fermé et K2 est ouvert. Au début de cette phase, pris comme origine détente, le condensateur est déchargé. On parle du condensateur juste ici. C'est le seul condensateur du schéma. On se doute que l'ensemble de l'étude va se porter sur ce condensateur juste ici. Dans la seconde phase, l'interrupteur K2 est fermé. Et puis pendant que K1 est ouvert, c'est dans cette phase que le choc a lieu. La résistance R modélise le comportement écrit du cœur. Ici, la résistance R, c'est simplement, avec cette petite icône, la modélisation du cœur. Si on résume, dans la première phase, K1 est fermé, K2 est ouvert. Tout se passe dans cette première branche. C'est là que le condensateur se charge. Et dans la seconde phase, le condensateur se décharge. C'est là que va être appliqué le choc électrique au niveau du cœur. Les quatre graphiques à la page suivante représentent les évolutions possibles de la tension au banc du condensateur en fonction du temps déterminé, celui qui correspond à la première phase de fonctionnement en justifiant la réponse. Qu'est-ce qu'on peut dire pour cette quête graphique ? Le condensateur est initialement déchargé, donc U en 0 est égal à 0. C'est l'élément C qui nous le dit. Qu'est-ce qu'on peut éliminer ? Le graphique 1 et le graphique 2 n'ont pas leur place. Il va ensuite être monté à une tension de plus 800 V. En effet, regardez ce graphique juste ici. Le montage est élevé à une tension égale à 800 V. Et ici, au niveau du régime permanent, le condensateur va être monté à la même tension, donc 800 V. Ainsi, le graphique numéro 4 ne correspond pas. Il s'agit du graphique 3 qui correspond à l'évolution de la tension. Il va être monté à une tension de plus 800 V, d'après les conventions données. À l'essuie de la première phase, la charge du condensateur étant terminée, on passe à la deuxième phase de fonctionnement, celle des charges. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension UC de T lors de cette seconde phase. Établir une équation différentielle, on sait le faire, c'est la méthode classique. On représente bien sûr le schéma du circuit en phase 2, puisqu'il faut ré-agencer tout ça et simplifier pour mieux comprendre. Et on va appliquer la loi des mailles. Avec les différentes tensions ici, on circule dans un sens et on égalise. D'un côté on a UC, de l'autre on a UR. Donc, d'après la loi des mailles, UC de T égale UR de T. Après, par relation courant tension pour un condensateur. Alors là, attention, il y a une subtilité qu'il ne faut surtout pas louper. En fait, dans un premier temps, dans la première phase, le condensateur va se charger. Donc il va être en convention accepteur. Ainsi, ce n'est pas du tout le cas que dans la deuxième phase, c'est là où il se décharge, donc il est en convention générateur. C'est lui qui produit le courant, c'est pourquoi le courant est dans ce sens-là. Le sens de la tension n'est pas anodin. En fait, en convention générateur, on a I de T qui est égal à moins C fois D de UC sur DT. Il ne faut pas oublier ça dans la relation courant tension pour un condensateur. Il faut faire attention à la convention suivante ici, générateur ou accepteur. Alors, à partir de là, on a la loi d'Ohm pour relier ce courant justement à UC de T. UC de T plus R de T est égal à R fois I de T. Et donc, en passant de notre côté, on obtient bien l'équation différentielle vérifiée par UC de T. RC D de UC de T sur DT plus UC de T est égal à 0. C'est une équation différentielle très classique, premier ordre pour un circuit RC. Alors, à la date T1, l'interducteur K2 est fermé. Vérifiez que la solution de cette équation différentielle peut s'écrire sous la forme UC de T qui est égal à A exponentielle de moins T moins T1 divisé par tau. Exprimez le temps caractéristique tau en fonction de R et C et calculez sa valeur. Bon, ici, il faut faire attention, bien sûr, comme d'habitude, à la grammaire de la question en elle-même. Vérifiez que la solution peut s'écrire sous la forme ainsi. On ne nous demande pas de résoudre l'équation. On nous demande de vérifier simplement cette forme de solution. Ce qu'il faut faire, c'est tout simplement l'implémenter et vérifier si l'égalité est respectée. Pour calculer ça, on doit calculer D de UC sur DT. Ça nous donne moins 1 sur tau fois A exponentielle de moins T moins T1 divisé par tau. Si on calcule ce terme ici, ça nous donne moins A fois exponentielle de moins T moins T1 sur tau plus A fois exponentielle de moins T moins T1 divisé par tau. Et donc, c'est égal à 0. Ça, c'est vrai si et seulement si on pose tau, le temps caractéristique, qui est égal à Rc. Effectivement, c'est le temps caractéristique pour un circuit Rc du premier ordre. Donc, effectivement, la relation est bien vérifiée. La solution proposée est solution de l'équation différenciée. La solution peut s'écrire sous la forme UC de T est égal à A exponentielle de moins T moins T1 divisé par tau avec tau qui est égal à Rc. Et donc, l'application numérique nous donne tau qui est égal à 0,5 millisecondes. Alors, question 4. Déterminer la valeur du paramètre A sachant qu'à l'instant T est égal à T1, la tension au bord du condensateur UC de T1 vaut 800 volts. Donc ici, on est dans la résolution classique. On a déterminé la solution avec une constante qui n'est pas connue. Maintenant, on va la fixer avec cette condition initiale. Alors, pour le traitement des conditions initiales, c'est comme d'habitude. On évalue justement UC en T1. Ça nous donne, en remplaçant directement l'équation, A fois exponentielle de 0. A exponentielle de 0, c'est A. Et c'est égal, dans un second temps, on le sait, à 800 volts d'après l'élément de C. Donc, finalement, on obtient que A est égal à 800 volts. Donc, le paramètre A est maintenant connu. Estimer la durée approximative du choc électrique et commenter. Alors ça, ce n'est pas une question triviale. Ce n'est pas forcément abordé dans tous les cours de tous les profs de lycée. Donc, en fait, qu'est-ce qu'on peut exprimer comme durée approximative du choc électrique ? De quel temps est-ce qu'on dispose ? On dispose du temps caractéristique. Le temps caractéristique, c'est le temps au bout duquel on a atteint 63% du régime permanent. À partir de là, est-ce qu'on peut déterminer une durée du phénomène en lui-même ? Eh bien, oui. En fait, par convention, on dit qu'au bout d'un temps de 5 taux, donc 5 fois le temps caractéristique, le régime permanent est atteint. Bon, effectivement, ce n'est pas totalement exactement vrai. Mais on décide par convention qu'à 5 taux, c'est bon. On a largement assez attendu pour que le régime permanent soit établi. Il n'y aura plus que des toutes petites variations. Donc, en calculant, le choc dure environ 2,5 millisecondes. Et c'est cohérent au vu du fait que dans l'énoncé, il disait que le choc était très bref. Maintenant, question 6. Donnez l'allure de la tension au bord du condensateur en fonction du temps lors d'un cycle complet charge-décharge du condensateur. Bon, ça, il faut le représenter. On a d'abord une période de charge. Donc, bien sûr, toujours de manière exponentielle. Et puis, ensuite, de décharge. Donc, on part du même point et on décroît exponentiellement. Donc, on a réalisé ces deux schémas dans les différents exercices qu'on a pu voir en méthode. Bon, ici, il s'agit simplement de les concatener, de les mettre l'un après l'autre. Puisqu'on a une phase de décharge qui suit une phase de charge. Donc, on obtient ce genre de graphique-là. Vous savez que, là, j'ai représenté des vitesses de décroissement et des vitesses d'accroissement différentes. Vu qu'on a des temps caractéristiques qui sont différents. Voilà, c'est la fin de cet exercice d'électricité qui, je pense, était très abordable. Qui ne reprend que des questions de cours. Qui prend un peu de temps, bien sûr, en calcul de base. Mais qui se déroule assez bien. C'était une bonne idée. Là, on a vu, dès les mots-clés, que ça allait être des notions plutôt classiques. Donc, bonne idée de se pencher là-dessus. Et puis, maintenant, on va attaquer l'exercice C.

Défibrillateur cardiaque implantable

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