Home

MPSI/PCSI

Physique-Chimie

Physique

Inductance propre, inductance mutuelle

Dans cette vidéo, on se demande si on peut négliger le phénomène d'autoinduction dans un circuit, en particulier dans les circuits sans bobine. On étudie un circuit avec une bobine d'autoinductance L, une résistance R, et un champ magnétique extérieur B. 
On utilise des notations complexes pour résoudre les équations différentielles, et on exprime le module de H, qui représente le rapport des tensions complexes d'autoinductance par rapport au champ extérieur. On obtient une condition sur la pulsation pour négliger la force électromotrice auto-induite. 
En utilisant des valeurs typiques pour R et L, on calcule numériquement la pulsation, qui doit être très inférieure à 1x10^4 rad/s. On conclut en remarquant que pour un circuit avec une seule spire, on peut négliger l'autoinduction, car on se trouve à une fréquence très inférieure à 3x10^8 Hz.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va se demander si on peut négliger le phénomène d'autoinduction que l'on a introduit précédemment. En effet, on a parlé d'autoinduction pour une bobine, mais en fait, on l'a défini dans un cadre plus large que ça. On l'a défini, tout simplement, dans le cadre où un circuit génère un champ magnétique, et qui va traverser ce même circuit, et donc générer certaines forces électromotrices. C'est le phénomène d'autoinduction. Il est particulièrement puissant pour les bobines, puisqu'il y a une densité de fil très importante, une longueur, et donc une densité de courant très importante. Mais en fait, c'est aussi définissable pour n'importe quel circuit, et en particulier pour les circuits que l'on a classiquement en TP. Et dans ce cadre, est-ce qu'on peut vraiment négliger ce phénomène que l'on a défini ? Et donc, on néglige, comme l'annoncé le dit, souvent par approximation, l'autoinductance dans les circuits sans bobine. S'il n'y a pas de bobine, on n'a jamais parlé d'autoinductance, surtout avec cette petite grandeur L. Il s'agit ici de savoir si cette approximation est valable, puisqu'a priori, on ne devrait pas la négliger. On étudie pour cela le circuit ci-dessous, d'autoinductance L. Il a une surface S, une résistance R, plongée dans le champ magnétique B, qui est égal à B0 cosinus oméga t fois n. Donc, il y a déjà un champ magnétique présent. Dans un premier temps, on ne prend en compte que la FEM, la force électromatrice, induite par le champ magnétique B. Il faut déterminer le flux traversé en circuit. C'est tout simplement un calcul de flux assez classique. On somme sur la surface avec le produit scalaire dS. Ici, vu qu'il est uniforme, on a tout simplement B0S cosinus oméga t avec le vecteur dS suivant le vecteur normal n. Deuxième question, réaliser le champ magnétique équivalent et donner la valeur de I. Ici, on a une force électromotrice résultante qui s'ajoute en série avec la résistance, dont la valeur, c'est moins la dérivée du flux par rapport au temps. C'est tout simplement la loi de Faraday. On obtient E de t qui est égal à B0S oméga sinus oméga t en dérivant par rapport au temps, avec le petit signe moins qui va bien. Finalement, le courant en fonction du temps, c'est B0S oméga divisé par R sinus de oméga t. Question 3, on prend en plus en compte le phénomène d'autoinduction. Il faut déterminer le flux magnétique traversant le circuit et réaliser le schéma électrique équivalent. Ici, dans le cas particulier où l'on utilise l'influence du circuit sur lui-même, on parle d'autoinductance et on note le flux propre, phi P, qui est égal à L fois I1. Le schéma électrique qu'on a juste ici, vu qu'on nous a introduit cette grandeur L, on a le droit d'utiliser. On rajoute une force électromotrice qui est égale à moins la dérivée du flux propre, donc moins L d2I1 sur dt. En appliquant la loi des mailles, on a cette fois d2I1 sur dt plus R sur L I1 de t, qui est égal à B0S divisé par L fois oméga sinus oméga t. C'est l'équation différentielle qu'on obtient lorsqu'on prend en compte ce phénomène d'autoinduction. Ensuite, question 5, on se place désormais en notation complexe, ça tombe bien pour résoudre les équations différentielles, on est vraiment fans de cette technique. En notant EL complexe et E extérieur complexe, les forces électromotrices respectivement auto-induites et induites par le champ extérieur, on se souvient, ici, il est directement plongé dans le champ extérieur, il faut exprimer H, le module de H, qui est égal au module de EL divisé par le module de EXT. Alors H, en fait, ça revient à une fonction de transfert, on retrouve des notions d'électricité de début d'année, et donc c'est tout simplement le rapport des tensions. Ici, bien sûr, il n'y a pas de transfert de tension ou quoi que ce soit. On va reprendre cette équation, bien sûr, en passant en complexe, c'est ce qu'on va tout d'abord poser les notations complexes, voilà, juste ici. Et donc, qu'est-ce que l'on obtient en flux extérieur ? Eh bien, c'est moins d'lphi sur dt, et donc moins jω B0s exponentielle de jωt. Tout simplement dériver par rapport au temps et appliquer un signeau. Et pour le flux propre, c'est moins d2I1 sur dt, avec les notations complexes, on a effectivement, encore une fois, un jω qui va tomber, donc moins jωLI1 exponentielle de jωt. Et donc, si on fait le rapport maintenant entre les deux, le module de H, c'est le module de EL divisé par le module de EX, et donc d'après les notations qu'on a introduites ici, c'est ωL fois le module de I1 divisé par ωB0s. Et donc finalement, on obtient cette expression, on n'a pas totalement fini, puisqu'on n'a pas le module de I1 complexe. On ne sait pas ce qu'il vaut, mais on a tout ce qu'il faut autrement, donc c'est la dernière chose qu'il nous faut, que vaut I1. Donc pour ça, on va bien sûr se servir de l'équation différentielle que l'on classe en complexe. Encore une fois, ça nous permet d'avoir plus d'informations, c'est ça la quête d'informations que l'on cherche à avoir. Et donc, d'un côté, on a dérivé I1 par rapport au temps, on a donc jωI1 exponentielle de jωt, plus R sur L I1 exponentielle de jωt, et de l'autre côté, on a effectivement un jω qui vient du sinus, donc jωB0s divisé par L exponentielle de jωt. Qu'est-ce qu'on fait maintenant ? On simplifie par exponentielle de jωt, et on factorise pour avoir l'expression du module de I1 finalement, qui n'est pas si simple que ça, c'est ωB0s divisé par la racine carrée de L²ω2 plus R². Donc voilà, c'est une petite gymnastique d'esprit, pour au final obtenir le module de H, en remplaçant l'expression, c'est tout simplement, avec le maximum de simplification, ça simplifie assez bien quand même, le module de H, c'est 1 divisé par la racine carrée de 1 plus R² divisé par L²ω2. Voilà ce que l'on obtient pour le rapport des tensions complexes, des amplitudes de tensions complexes. Donc si on regarde la postériorité un peu, tout simplement on est passé en complexe dans un premier temps, donc ce qu'on fait, on suit l'ordre des choses, on essaye d'exprimer en complexe ce que vaut la grandeur que l'on nous apporte, juste ici, le module de H complexe. On avance aussi loin qu'on peut, aussi loin qu'on peut avec les informations que l'on pose, et on se retrouve un peu coincé, puisqu'il faut déterminer I1, le module de I1 complexe. Mais c'est pas grave, on est allé, là on sait exactement ce qu'il nous faut, puisqu'on est allé au plus loin dans la démarche de déterminer cette grandeur. Bon, maintenant il nous faut des informations supplémentaires, concernant cette tension complexe ici, et bien ça tombe bien, vu que dans la question précédente, on a déterminé une équation différentielle qui nous donne encore plus d'informations, donc c'est pour ça qu'on s'y penche par la suite. C'était un petit point, une méthode, pour essayer de comprendre comment on a effectué, ce qu'on a effectué. Alors, maintenant on peut passer à la question 6, donner une condition sur la pulsation, pour que justement cette force électromotrice auto-induite, elle soit négligeable, c'est tout le but de l'exercice. Alors si on regarde par rapport à la grandeur qu'on a introduite juste avant, on a ici le rapport des tensions d'auto-inductance par rapport au champ extérieur classique. Donc en soi, si on veut négliger la force électromotrice auto-induite, et bien il faut que H soit très très petit devant 1. S'il est très très petit devant 1, ça veut dire que EL est très très petit devant E extérieur, et donc que le phénomène principal, c'est bien le champ magnétique extérieur, et non pas le champ magnétique auto-induit. Voilà pour le petit raisonnement physique. Donc si on met en pratique, la force électromotrice auto-induite est négligeable, si et seulement si le module de EL est très petit devant le module de E extérieur, donc que le module de H est très petit devant 1. Si on reprend l'expression qu'on a juste ici, alors on veut que cette expression soit très petite devant 1. Donc on veut que le dénominateur soit très grand devant 1. Ici on n'a pas d'influence sur le racine carrée, on n'a pas d'influence sur le plus 1. C'est que R² divisé par L² ω² soit très grand devant 1. Et donc là voilà notre condition sur la pulsation. La force électromotrice induite est négligeable, si et seulement si on est dans des gammes de pulsations qui sont très petites devant R sur L. Voilà, c'est une réflexion physique très très intéressante, et très très classique de physicien. Maintenant question 7. En utilisant les valeurs de R et L utilisées habituellement en TP, calculez numériquement la pulsation, et quel résultat connu est retrouvé juste ici ? Donc ça c'est assez classique dans des sujets de concours DS. Très souvent on nous demande d'un coup, en plein milieu d'exercice assez calculatoire, de sortir des ordres de grandeur comme ça. Donc il faut vraiment s'entraîner à ce qu'ils sortent assez naturellement. Là il n'y a pas de bonne réponse en soi, on peut sortir des valeurs classiques, avec L qui est de 100 mL et R de 1 kOhm, on obtient une pulsation qui doit être très inférieure à 1 fois 10 puissance 4 radians par seconde, soit une fréquence très petite devant 1,6 kHz. Mais en fait on doit se placer ici en très basse fréquence, c'est ça qu'il faut retenir. Or les basses fréquences, si on essaie de relier ces idées, on a d'un côté il faut se placer en basse fréquence pour que l'on puisse négliger le phénomène d'auto-induction, le phénomène de bobine, et bien ici on retrouve le fait que la bobine est équivalente à un fil en basse fréquence. C'est un résultat assez joli, un résultat asymptotique que l'on avait posé de but en blanc dans les différents chapitres de début d'année. Ici on l'a clairement démontré, c'est une réflexion très jolie. Et finalement on conclut l'exercice par la question flite. En proposant des ordres de grandeur raisonnables, refaire le même calcul pour un circuit de même résistance, mais à une seule sphère, composée d'un fil de cuir de TP, l'inductance du circuit circulaire de diamètre D est donnée par L, avec une formule assez compliquée, où D est le diamètre de fil du cuir. Il faut conclure sur l'exercice. Ici on a simplement L qui varie. En prenant des valeurs classiques de TP, on peut supposer un fil de diamètre 1 mm, 1 m en général c'est une bonne longueur pour un circuit de TP. On obtient alors L qui est égale à 4 x 10-6 en Ri. La conclusion ici, il faut se trouver à une fréquence qui est très inférieure à 3 x 108 Hz. Dans le cadre d'une seule sphère, c'est un circuit de TP classique. On a juste une boucle de circuit. C'est le cas classique du TP. Elle est généralement largement respectée en TP. On dépasse très rarement les 3 x 108 Hz. Donc on peut négliger l'auto-induction du circuit lorsqu'on a un circuit qui est composé d'une seule spire. C'est là qu'on comprend pourquoi on étudie l'auto-inductance quasiment seulement pour les bobines. Les bobines, du fait d'enrouler énormément de spires au mm, permettent ce phénomène d'auto-induction qui est largement amplifié. Mais si on considère seulement un circuit classique composé d'une seule boucle, ce n'est pas du tout le cas. On ne peut pas se placer ici. Voilà, c'est la fin de cet exercice très intéressant sur la manière dont on raisonne pourquoi on a fait ces hypothèses. C'est la démarche scientifique par excellence. N'hésitez pas à le reprendre de votre côté. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo. A bientôt.

Négliger l'auto-induction ?

RELATED

Recommended videos

Circuits couplés

Bobine longue

Solénoïdes emboîtés