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Physique-Chimie

Physique

Statique des fluides

Dans cette vidéo, nous étudions la statique des fluides sur un barrage hémicylindrique. L'objectif est de calculer la résultante des forces de pression exercées sur le barrage. 

Tout d'abord, nous déterminons la pression à l'altitude z en utilisant le principe fondamental de la statique. Nous trouvons que la pression p(z) est égale à p0 - ρgz - h, où p0 est la pression atmosphérique, ρ est la masse volumique de l'eau, g est l'accélération due à la pesanteur et h est la hauteur du barrage.

Ensuite, nous analysons la force élémentaire df exercée sur un élément de surface ds du barrage. Nous observons que cette force se compose de deux parties : la pression exercée par l'eau (p0) et la pression exercée par l'air (pr), qui agissent dans des directions opposées. Nous déterminons que la force élémentaire df est égale à -(ρgh - z) ds ur, où ur est un vecteur unitaire dans la direction radiale.

Pour obtenir la résultante des forces de pression, nous projetons les forces élémentaires sur la direction radiale (ur) et observons que les forces se compensent mutuellement, à l'exception de la composante verticale. Ainsi, la résultante des forces de pression est uniquement dans la direction verticale (uy). Nous trouvons que fy = -ρgh².

Finalement, nous commentons sur la conception du barrage et expliquons qu'il doit être solide et bien fixé au sol pour résister aux forces de pression de l'eau. Cela implique généralement l'utilisation de forces de frottement entre les fondations du barrage et le sol pour maintenir sa stabilité.

En résumé, nous avons étudié la statique des fluides sur un barrage hémicylindrique et calculé la résultante des forces de pression. Nous avons également discuté de l'importance de la conception et de la consolidation du barrage pour lui permettre de résister aux forces exercées par l'eau.

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien. On se retrouve aujourd'hui pour un exercice de statique des fluides sur un barrage. Donc ce qui se passe ici c'est qu'on va étudier ce type de barrage qui est un barrage hémicylindrique. Vous avez ici un demi-cylindre en quelque sorte et vous avez de l'eau ici. C'est une forme de barrage qu'on peut avoir en France par exemple. Si on se balade on peut avoir des barrages qui ont cette forme là, voûtée comme ça, qui ressemble à ça. Et donc l'idée ici c'est de calculer la résultante des forces de pression qui s'exerce sur ce barrage. Alors je pense que c'est un super exercice parce qu'il va vous permettre de revoir à la fois ce qui concerne la statique des fluides en soi, et également ce qui concerne la résultante des forces de pression. C'est un type d'exercice assez classique de devoir évaluer la résultante des forces de pression quelque part, et c'est un peu calculatoire. Donc ça va être aussi l'occasion de vérifier tout ce qui concerne les bases, les systèmes de coordonnées, etc. Donc là on vous place un peu le décor. On vous dit que ce barrage il a un rayon R, une hauteur h, p0 c'est la pression atmosphérique, donc la pression de l'air, et ρ c'est la masse volumique de l'eau qui est considérée comme constante. J'ai l'accélération, la pesanteur, ça vous connaissez. On vous dit qu'on se place en coordonnées cylindriques, bon il n'y a pas trop de surprises pour ça, vous voyez bien que vu la tête de ce barrage, les coordonnées cylindriques ça va être très pratique. Tout d'abord, montrer que la pression à l'altitude z s'écrit p0 plus ρgh-z. Déterminer la pression, déterminer le champ de pression, il n'y a qu'une seule manière pour faire ça, c'est d'utiliser le principe fondamental de la statique. Donc grad p est égal à ρg. Là, comme je vous l'ai déjà dit, il faut bien faire attention à la direction de l'axe. Là ici j'ai pris un axe z qui va vers le haut, ça me donne que dp sur dz est égal à moins ρg quand je projette sur z, et donc finalement p de z est égal à moins ρg plus une constante. Pour déterminer la constante, je regarde ce qui se passe à la surface. À la surface, j'ai la continuité du champ de pression, la pression dans l'eau à la surface est égale à la pression dans l'air au niveau de la surface, et donc ça me donne qu'en z égale h, je vais avoir ph qui est égal à p0. Finalement, p de z c'est p0 moins ρg z moins h. Ça c'est quelque chose vraiment très classique, il faut savoir refaire sans trop se poser de questions, vous le retrouverez vraiment très souvent comme question préliminaire. Maintenant on rentre dans le vif du sujet, on vous demande quelle est la force élémentaire df qui s'exerce sur un élément de surface ds du barrage. Regarde ce qui se passe, je vous ai mis un tout petit élément de barrage qui est un peu courbé comme ça, donc là vous avez un petit ds que j'ai dessiné en vert, vous allez avoir deux forces différentes. Déjà vous avez l'eau qui va faire pression dans ce sens là, donc la force exercée par l'eau ça va être p0 ds, et la force exercée par l'air ça va être pr ds, dans ce sens là. Maintenant la question c'est dans quel sens est le ds ? En général le ds on le prend vers l'extérieur comme ça, donc là vous voyez que par rapport à votre système de coordonnées, le ds va être selon ur. Donc finalement ds c'est p0 moins pz ds, et ça nous fait moins rôger h moins z ds ur. Donc ça c'est l'expression, c'est la force de pression élémentaire qui s'exerce sur un petit élément de volume ds. Maintenant on va s'intéresser à la résultante, et pour ça on va dire oui on connaît la force de pression en ds, mais elle dépend de ur. Et donc on peut dire oui il suffit de faire la somme de toutes les forces de pression, là j'ai l'expression, je peux faire la somme et je vais avoir une résultante selon ur. Ça c'est vraiment ce qu'il faut pas faire parce qu'en fait on est en système de coordonnées cylindriques, et donc votre petit vecteur ur ici va changer de direction. Donc si je dis à chaque fois il me suffit de faire la somme, ça va pas être vrai, parce qu'à chaque fois la direction du ur elle va changer. Donc de deux choses l'une, si vous avez une expression vectorielle et que vous voulez faire une somme, donc quelque part avoir une intégrale, il faut vous assurer que les vecteurs de vos bases soient des vecteurs fixes. Ur ici c'est pas le cas. Donc si c'est pas des vecteurs fixes, une autre idée ça va être de faire une projection, de voir qu'est ce qui se passe grosso modo si j'essaye de faire la somme. Et très souvent dans ces problèmes là, vous allez avoir des symétries particulières. Si notamment on regarde, si on projette des f, en fait on se rend compte que la résultante des forces de pression elle est selon une seule direction. Donc on peut le montrer ici comme ça. Donc là en fait je prends en θ, et je prends aussi le symétrique de l'autre côté en π-θ. Donc là qu'est ce que je vois, je vais avoir un df comme ça, un df comme ça. Donc si je fais la somme des deux, je me retrouve avec une résultante qui est selon cette direction là. Donc elle est selon uy. Donc vous voyez si je prends deux à deux, à chaque fois un petit élément de surface comme ça, le symétrique par rapport à cette ligne là, et bien ça va se compenser. Les composantes verticales vont se compenser, donc je vais avoir une résultante qui est uniquement selon cette direction là. Donc retenez bien ça, là on a un exercice qui est super guidé, mais si vous avez un exercice qui n'est pas autant guidé, retenez bien qu'il faut projeter avant d'intégrer. C'est ce qu'on fait ici, donc on voit que la résultante elle est uniquement selon uy, donc en fait on projette directement dans cette direction là. Et donc dfy, c'est avec df vectorel uy, et donc je retrouve que c'est du df sinθ. Si je prends, vous voyez vous aviez votre ur ici, et le uy, là il est selon cette direction là. Donc là vous avez bien un sinθ. On peut le voir ici aussi, on a le df comme ça, non pardon, oui c'est ça, le df, là le dfy, et donc si je projette là j'ai un sinθ, parce que là j'ai le θ. Donc là cet angle là, ça va être pi sur 2 moins θ. Il y a plein de manières de voir, de toute façon les projections, c'est à vous de trouver votre manière de voir les choses. Et donc finalement voilà dfy, ça va être moins roger h moins z ds sinθ. Donc là j'aimerais juste faire une somme de toutes ces petites forces élémentaires qui s'ajoutent, et pour faire une somme en physique sur un système comme ça, il faut faire une intégrale. Pour faire une intégrale c'est toujours la même chose, il faut être vraiment rigoureux sur tout ce qui est géométrie. Donc là il faut se demander quel est ce que c'est déjà notre petit élément de surface. Donc là je suis à r constant, vous voyez mon barrage est à r constant, donc un petit élément de surface courbé comme ça, l'arc là il va avoir une longueur r dθ, et sa hauteur ça va être une hauteur dz, donc mon élément de surface va être r dθ dz. En fait de manière générale quand vous avez un élément de surface, personnellement ce que j'aime bien faire c'est de me demander quelle est la grandeur constante lorsque je change d'élément de surface. La grandeur qui ne change pas c'est r, donc comme on est à r constant, mon élément de surface dépend juste des deux autres grandeurs qui sont dθ et dz. Il y a plein de manières de voir les choses, en tout cas ça c'est notre élément de surface, et donc finalement dfy c'est moins roger h moins z r sinθ dz dθ. On a la contribution du petit élément de surface ds à la force y, donc maintenant il suffit d'intégrer, on a θ qui va de 0 à π, et z qui va de 0 à h, puisque mon barrage a une hauteur h. Donc j'intègre, j'ai une double intégrale, je sépare, j'ai le droit quand j'ai une intégrale de séparer ce qui dépend de z de ce qui dépend de θ, et donc c'est à intervertir, j'ai le droit d'intervertir les intégrales, donc j'ai deux intégrales, l'intégrale qui dépend de z et l'intégrale qui dépend de θ. Je pense qu'en maths, vous avez dû voir ça sous le nom du théorème de Fubini qui marche aussi pour les sommes en fait. Bref, petite parenthèse, peu importe. Là j'ai une intégrale i et j, je les calcule séparément. Vous voyez j'ai z ici, donc je peux trouver la primitive très facilement, ça fait moins roger hz moins z 2 sur 2, pris entre 0 et h, donc finalement ça me donne moins roger H2 sur 2. De l'autre côté, j'ai sinθdθ que j'intègre entre 0 et π. Une primitive c'est moins cosθ entre π et 0, et ça me donne 2. Donc finalement fy c'est moins roger h². Donc vous voyez que la résultante des forces de pression ici, elle s'exprime de manière simple, c'est roger h² dans cette direction là. Dans cette direction là, pardon, je vous ai dit n'importe quoi. C'est bien l'eau qui fait pression ici, donc là c'est assez logique. On retrouve bien qu'on est sur l'eau moins y. Voilà, et donc dernière chose, en pratique comment le barrage retient l'huile ? Bah oui, parce que là on vous dit grosso modo il y a une énorme force qui s'exerce comme ça, qui est due à toute la pression de l'eau, et a priori vous voulez que votre barrage tienne. Ça c'est des questions de conception du barrage, plutôt du côté de la mécanique des solides. Il faut que les fondations du barrage soient assez costaudes pour qu'en fait on lutte contre ces forces de pression, pour pouvoir retenir l'eau. Et comment on fait en pratique ? Bah on joue avec les forces de frottement. Si vous mettez un pilier quelque part, ce qui va faire que votre pilier est solide, c'est que ça va frotter d'une manière ou d'une autre contre le sol, et ça va permettre de retenir comme ça. Là c'est un domaine différent, vous voyez, c'est un domaine qui est lié à la mécanique du solide en général, donc c'est quelque chose qui est assez éloigné du cadre de votre programme, mais l'idée générale c'est que vous allez consolider énormément ce barrage, notamment en bas, là où la pression est la plus élevée, pour lui permettre de résister à l'eau. Voilà pour cet exercice qui est vraiment un super grand classique de la statique des fluides, j'espère que ça vous aura été utile, et on se retrouve bientôt !

Barrage

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