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Physique-Chimie

Physique

Statique des fluides

Le cours porte sur le décollage d'une montgolfière et l'application de la statique des fluides. Il explique que pour que la montgolfière puisse décoller, il faut trouver une condition sur la température minimale à l'intérieur de la montgolfière. Il aborde ensuite la masse volumique d'un gaz parfait et le modèle de l'atmosphère isotherme. Ensuite, le cours se concentre sur la montgolfière elle-même et demande de calculer la force ascensionnelle dans un format spécifique. Il aborde également la masse d'air emprisonnée et sa relation avec les forces de pression. La montgolfière décolle lorsque la force ascensionnelle est positive, ce qui impose une condition sur la température intérieure. Une température minimale de 377 Kelvin est calculée. Enfin, le cours demande de déterminer l'altitude maximale atteinte par la montgolfière, en utilisant la condition d'annulation de la force ascensionnelle. L'altitude maximale est calculée à 427 mètres. Le cours souligne l'importance de la cohérence des valeurs numériques et encourage à utiliser les outils et équations disponibles pour résoudre les questions.

Bonjour à tous, aujourd'hui on va faire un exercice sur le décollage d'une montgolfière. Le décollage de la montgolfière, c'est vraiment une application assez classique de la statique des fluides. Et donc ici, l'idée, vous voyez, c'est qu'on va essayer de trouver une condition sur la température minimale à l'intérieur de la montgolfière pour qu'elle puisse décoller. C'est un exercice qui est assez guidé. Donc voilà, on va faire les questions progressivement. Tout d'abord, on vous demande de montrer que la masse volumique Rho est d'un gaz parfait. Vérifier Rho égale PM sur RT, d'ailleurs. Je vois qu'il y a un petit oubli dans l'énoncé ici. C'est une question qu'on a déjà vu ensemble plusieurs fois. Donc pour ça, vous vous souvenez, on part de la loi des gaz parfaits PV égale nRT. On introduit n qui est égale à M sur M, Rho c'est V sur M, et donc ça nous donne P qui est égale à Rho RT sur M. C'est juste la loi des gaz parfaits. Ensuite, deuxième question, modèle de l'atmosphère ésotère. On vous demande de montrer que Pz c'est P0 exponentielle de moins z sur h. Ça c'est quelque chose qu'on a déjà fait plusieurs fois aussi. Donc si je prends l'axe vers le haut, comme ça, j'utilise la loi de la statique des fluides, grade P est égale à Rho g. Donc ça me donne dP sur dz est égale à PM sur RT fois g. Et je retrouve bien que Pz c'est P0 exponentielle de moins z sur h, en introduisant H qui est RT sur Mg. Dans l'atmosphère terrestre, on trouve que H c'est 8,41 km. Maintenant, regardons plus en détail ce qui se passe pour la montgolfière. Donc on vous demande... Non, c'est tout, on vous demandait d'exprimer H, voilà. Donc là pour la montgolfière, on vous dit que grosso modo, qu'est-ce que c'est ? C'est une nacelle dans laquelle on a des instruments, l'équipage de bord et une enveloppe. Donc la grosse enveloppe que vous voyez de la montgolfière qui contient un air qui est chaud, qui est chauffé à une température Ti qui est plus grande que la température extérieure T0. On vous donne M1, c'est la masse de tous les constituants, la nacelle, etc. Et Mi, c'est la masse d'air qu'on a dans l'enveloppe. Ça, on ne vous la donne pas. Et donc, on vous dit que cette enveloppe a un volume qui est de 2600 m³. Voilà, on vous dit qu'elle est ouverte à la base, la montgolfière, et donc il y a un équilibre des pressions partout entre l'intérieur et l'extérieur. Donc nous, on va s'intéresser juste à la température. Il y a une discontinuité pour la température, puisque la température à l'intérieur est plus chaude que celle à l'extérieur. Et on vous demande de calculer la force ascensionnelle, donc la force qui permet à la montgolfière de s'élever. On vous demande de la mettre sous cette forme-là. Ça, c'est vraiment la grosse question de l'exo. Donc allons-y. Voilà la petite montgolfière que j'ai dessinée ici. Donc l'enveloppe qui fait V0, l'intérieur Ti, Mi, et l'extérieur a T0. Donc regardons tout d'abord, pour qu'elle puisse décoller, cette montgolfière, on va devoir avoir une balance qui se fait entre le poids de la montgolfière, qui est vers le bas, et la poussée d'Archimède qui est vers le haut, comme très souvent lorsqu'on a des questions statiques des fluides. Le poids ici, ça va être moins M1 plus Mi G E Z, et la poussée d'Archimède, c'est M0. Donc ça, c'est tout l'air froid qu'on a déplacé G E Z. Donc maintenant, F, c'est la résultante entre ces deux forces-là. Donc je trouve M0 moins M moins Mi G, évidemment, selon E Z. Donc il faut déterminer quelle est la masse d'air emprisonnée, en fait. Vous voyez, c'est ça, ici, qui va vous manquer. M0, c'est Rho V0. C'est l'air froid qu'on a déplacé, donc lui, il a Rho 0 V0, et du coup, Rho 0, ça va être MPZ sur RT0, parce que l'air environnant, le Rho 0, on l'a déterminé avec le modèle de l'atmosphère isotherme. Donc finalement, je trouve ainsi que M0, c'est MPZ V0 sur RT0, et je fonctionne exactement de la même manière, parce que les forces de pression qu'on a dit qui avaient équilibre entre l'intérieur et l'extérieur, donc l'air à l'intérieur du ballon, il obéit exactement à la même règle d'atmosphère isotherme qu'on a déterminée, sauf que cette fois-ci, on va être à Ti. Et donc finalement, F2Z, vous voyez, j'ai introduit juste M0 Mi, il me reste le M1, qui est la masse de la nacelle, qu'elle ne change pas, et donc ça me fait F2Z, qui est égal à MPZ V0 sur R, facteur de 1 sur T0, moins 1 sur Ti, moins M1G. Maintenant, quand est-ce que la montgolfière décolle ? La montgolfière, elle décolle lorsque cette force-là est positive, c'est la résultante des forces qui s'exercent, et donc qu'est-ce que ça veut dire pour nous ? Ça veut dire qu'il faut que P0 V0 M sur R, facteur de 1 sur T0, moins 1 sur Ti, soit plus grand que M1. Et donc, nous on a un contrôle sur Ti. En fait, c'est avec le brûleur à l'intérieur de la montgolfière qu'on réussit à chauffer la masse d'air, et c'est grâce à ça que la montgolfière peut s'élever. Donc Ti doit être supérieur à une température minimale. Vous voyez ici, si j'isole Ti, cette température minimale vaut 1 sur 1 sur T0, moins M1 R sur P0 V0 M. J'ai juste isolé Ti dans cette inégalité. Et donc finalement, je trouve une température minimale de 377 Kelvin, soit 104 degrés Celsius. Dernière question ici. On vous donne cette fois-ci la température à laquelle on chauffe l'air. Vous voyez qu'on n'est vraiment pas très loin. Donc ça, c'est une autre manière intelligente de se repérer dans un sujet. Si on vous demande à un moment une valeur numérique et qu'à un autre moment de l'énoncer, que ce soit avant ou après, il y avait aussi une valeur numérique pour quelque chose qui correspond, regardez bien que ce soit du même ordre de grandeur. Là, on est de l'ordre de grandeur de 100 degrés, donc c'est OK. Et on vous demande quelle est l'altitude maximale atteinte par la montgolfière. Donc pour ça, il faut regarder quand est-ce que la force s'annule. En fait, votre montgolfière est chauffée à une température constante. Elle monte, elle monte, elle monte. Parce que vous voyez, la température minimale à laquelle il faut chauffer, elle dépend de la pression. Et quand la pression augmente, si la pression augmente, ce terme-là, il diminue. Donc il faut augmenter la température, vous voyez. Parce que Témin augmente. Donc il y a un moment où la température à laquelle on chauffe ne va pas être suffisante. Donc si je fixe Ti, F2z s'annule si P2z est égale à m1r sur V0m, facteur de 1 sur T0 moins 1 sur Ti. Et ici, je trouve que ça s'annule si P2z est égale à 0,960 bar. J'injecte ça dans mon expression sur l'atmosphère exotère, mais je trouve que ln de Pz sur P0, c'est moins z sur h. Donc finalement, z, c'est h ln de P0 sur Pz, et je trouve 427 m, ce qui est quand même pas mal. Donc vous voyez, ici on a fait un problème très complet. On a commencé par l'atmosphère exotère, ensuite on a fait un peu de poussée d'archimède pour déduire la condition pour que la montgolfière s'envole, et ensuite on est revenu à la loi de pression pour déterminer l'altitude maximale. Donc quand vous avez autant d'outils pour toutes ces questions, n'hésitez pas à regarder ce que vous avez fait, toutes vos équations, pour essayer de les utiliser au maximum pour les questions.

Montgolfière

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