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Une famille de fonctions !
Dans cette vidéo, il s'agit d'une transcription d'un cours sur une fonction avec une valeur absolue. Le professeur aborde plusieurs étapes pour étudier cette fonction.
Tout d'abord, il explique que la valeur absolue pose des difficultés, notamment en ce qui concerne la tracé de la fonction et sa non-dérivabilité en zéro. Il propose donc de commencer par vérifier si la fonction est paire ou impaire, car cela peut permettre de réduire l'étude de la fonction à l'ensemble des réels positifs en utilisant une symétrie par rapport à l'axe Y. Dans cet exemple, la fonction est paire.
Ensuite, le professeur propose d'écrire la fonction en utilisant différentes expressions sur différents intervalles pour se débarrasser de la valeur absolue. Il donne l'expression de la fonction pour les réels positifs (f(x) = x² - x) et pour les réels négatifs (f(x) = -x). Il explique également qu'il va tracer la fonction uniquement sur les réels positifs, mais qu'il a besoin de connaître l'expression sur les réels négatifs pour cela.
Ensuite, le professeur aborde l'étude de la dérivabilité de la fonction. Il calcule le taux d'accroissement de la fonction en zéro en utilisant deux expressions différentes, une pour les réels positifs et une pour les réels négatifs. Il obtient deux limites différentes pour le taux d'accroissement en approchant zéro par la droite et par la gauche. Il conclut donc que la fonction n'est pas dérivable en zéro.
Enfin, le professeur propose de continuer l'étude de la fonction sur l'ensemble des réels positifs. Il indique que la fonction est un polynôme du deuxième degré qui s'annule en zéro et en un. Il précise également que le maximum de la fonction se trouve en un demi. Il trace ensuite le graphe de la fonction sur les réels positifs, qui est une parabole. Il explique ensuite comment obtenir le graphe de la fonction sur les réels négatifs en utilisant une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Il constate également la présence d'un point de non dérivabilité où la tangente a une pente de -1 d'un côté et une pente de 1 de l'autre côté. Il termine en notant que même si la fonction présente des points avec des "coins", on peut tout de même l'étudier et la tracer sans trop de difficultés.
En conclusion, ce cours a abordé différentes étapes pour étudier une fonction avec une valeur absolue, notamment en vérifiant sa parité, en écrivant l'expression de la fonction sur différents intervalles, en étudiant sa dérivabilité et en traçant le graphe de la fonction.
