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Géométrie dans un Repère

This lesson covers how to find both the direction and normal vectors of a given line, and then how to use them to calculate a new line perpendicular to the first passing through a given point. A vector "-b-a" can be used as a direction vector, with a being the coefficient before y. The normal vector can be found from the Cartesian equation of the line through "-b-a". To find the equation of a new line perpendicular to the first, a direction vector can be used as a normal vector for the new line. The equation can then be found by applying the standard formula, using a known point on the new line to solve for the constant. Finally, the reduced equation can be found by isolating for the y variable.

Un petit exercice où on combine les deux notions, à la fois vecteur directeur et vecteur normal. C'est parti, ça va nous faire une bonne petite application. Donner un vecteur directeur de la droite D. Première chose qu'on peut faire pour être sûr de ne pas vraiment se prendre la tête, c'est mettre tout du même côté et dire on a "-4x-y-5-0", et on peut dire un vecteur directeur, c'est donc un vecteur, comme on sait dans le cours, "-b-a", donc moins le coefficient qui est devant y, c'est à dire "-1-1-a-4", donc 1-4, je veux dire, est directeur pour la droite, je ne sais pas comment elle s'appelle, pour D. Très bien. En déduisant un vecteur normal, un vecteur normal on reprend l'écriture de la droite en version cartésienne, on trouve un vecteur normal, n, ab, donc "-4-1", pas vraiment grand chose à dire de plus, ça c'est assez intuitif. Donc donner une équation cartésienne de la droite D' perpendiculaire à D passant par le point A. Ça en fait, si on fait un petit schéma rapide, voilà la droite D, on a la droite D qui a un vecteur normal n, un vecteur normal n comme ceci, un vecteur directeur ensuite que j'ai appelé u, comme ceci, voilà la droite D. Je fais un schéma encore une fois assez générique. On veut une droite D', la droite D' va être en gros comme ceci, je vais la faire là, voilà la droite D'. On peut considérer que u sera un vecteur normal de la droite D'. Donc u, vecteur u directeur, donc vecteur directeur de D, est normal pour D'. Donc ça c'est super, ça nous donne la réponse. C'est à dire que si c'est un vecteur normal, on peut dire que l'équation de la droite D' va être ax plus by avec a y a 1 et b y a le moins 4. Donc là c'est u qui joue le rôle de n pour la droite D'. On a donc 1 fois x moins 4 fois y plus c égale 0. Et ce qu'on fait c'est qu'on applique la méthode basique, étape numéro 2. On utilise le fait que D' passe par un certain point connu pour trouver c. Elle passe par quoi? Elle passe par a. On écrit donc or a 1 1 appartient à D'. Donc on peut écrire 1 fois 1 moins 4 fois 1 plus c égale 0. Ce qui nous donne c égale 1 moins 4, moins 3 plus c, donc c égale 3. On peut conclure D' a pour équation, donc x moins 4y plus 3 égale 0. On peut encadrer ce magnifique résultat. Donc voilà l'équation de D'. La question 4 nous dit, trouver une équation réduite de la droite D'. L'équation réduite ça veut dire en gros une équation de la forme affine, donc c'est cx plus D si vous voulez, donc on va isoler le y. On a 4y égale, je mets le y de l'autre côté, x plus 3. J'en déduis y égale 1 quart de x plus 3 quarts. Voilà, exercice fini, torché assez vite. Donc encore une fois, on applique bêtement ce qu'on connait. On sait que quand on a une équation cartésienne, moins b a est directeur, a b est normal. Ensuite il faut bien comprendre de quoi on nous parle, donc faire un petit dessin pour bien voir ce qu'il se passe. On a D avec un petit u et un petit n. On parle d'une droite D''. J'utilise un vecteur normal de cette nouvelle droite, je me rends compte que u est un vecteur normal, j'applique le fait que j'ai plus qu'à faire ça fois x plus ça fois y pour trouver mon équation cartésienne. Donc c'est ce que j'ai fait. Le petit c est résoudu avec un point, et on est bon. Donc en fait c'est juste une manière, comme dans pas mal d'exercices ou de petites méthodes qu'on va voir dans cette section, c'est juste une manière d'appliquer ce qu'on a vu comme définition fondamentale pour arriver à nos fins et trouver des équations de droite. Si il y a des questions, dites-moi, sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Utiliser vecteur directeur ET vecteur normal

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