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Physique

Régime sinusoïdal forcé et filtrage

Dans cette vidéo, on étudie un filtre RL série qui permet de réaliser un filtre passe-bas du premier ordre. En effet, la bobine a une impédance complexe qui tend vers zéro en basse fréquence et qui s'oppose au courant en haute fréquence, ce qui coupe les basses fréquences. La fonction de transfert du filtre est H = H0Jω/ωc / (1+Jω/ωc), où ωc est la pulsation de coupure du filtre. Les pentes des asymptotes en gain dans les limites hautes et basses fréquences sont respectivement de plus 20 dB par décade et de 0, ce qui caractérise un circuit du premier ordre avec une différence de 20 dB entre les deux asymptotes. Les filtres du second ordre ont une différence de 40 dB entre les deux asymptotes. Enfin, la méthode de vérification supplémentaire permet de confirmer que ce circuit est du premier ordre.

Bonjour à tous c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va étudier un filtre RL série. Alors on considère le circuit 6 comptes, donc j'ai pas menti, un circuit RL avec R qui vaut 1 kOhm et L qui vaut 10 mA. Donc on récupère la tension de sortie aux bandes de la bobine. Alors justement, première question, quel type de filtre ce circuit permet-il de réaliser? Le type de filtre associé à un circuit, il faut faire une étude asymptotique. Qu'est-ce qu'elle nous donne cette étude asymptotique? Eh bien à basse fréquence, on se rappelle, l'impédance complexe de la bobine c'est égal à JLω, donc ça tend vers 0 quand ω tend vers 0, donc en basse fréquence c'est un filtre de tension. En haute fréquence, à l'inverse, c'est un interrupteur ouvert. Donc en basse fréquence, la tension aux bandes de la bobine c'est 0, et en haute fréquence, comme le courant ne passe plus, c'est un interrupteur ouvert, eh bien la tension aux bandes de résistance est nulle, via la loi d'Ohm, et puis via la loi des mailles, on obtient directement que la tension aux bandes de la bobine c'est égal à E. Ce type de fil permet donc de réaliser un filtre passe-eau, on obtient la tension d'entrée, seulement pour les hautes fréquences, les basses fréquences sont coupées. Déterminer sa fonction de transfert est d'écrire sur la forme H est égal à H0, Jω sur ωc, le tout divisé par 1 plus Jω sur ωc. Alors ωc, c'est quoi? Ça ne nous parle pas. Nous on a entendu parler de ω0, c'est la pulsation propre. ωc, en fait, c'est la pulsation de coupure du filtre. Alors, à quoi ça fait référence? On le verra plus tard. Donc, pour déterminer une fonction de transfert en régime sinusoidal forcé, attention mauvais réflexe, il ne faut pas écrire la loi des mailles, il faut se ramener à un cas bien plus simple, c'est le diviseur de tension. Le diviseur de tension, il nous dit que la tension aux bandes de la bobine, c'est l'impédance complexe de la bobine sur la somme des impédances. Attention d'entrée. Donc c'est JLω sur JLω plus R fois E. Ensuite, il faut essayer d'identifier la fonction de transfert. Pour ça, il faut normaliser la partie réelle de la fonction de transfert, du dénominateur. Donc, on divise le tout par R. UL, c'est donc JLω sur R, le tout divisé par 1 plus JLω sur R fois E. La fonction de transfert, c'est bien la tension de sortie complexe sur la tension d'entrée complexe. Donc, ça nous donne cette expression. À partir de là, il faut essayer d'identifier. Donc, on commence par quoi? On commence par la partie imaginaire du dénominateur. Ici, on obtient directement que ωC, c'est R sur L. Et puis, en identifiant, on a aussi H0, juste ici, qui vaut 1. Donc, on obtient bien la forme attendue dans l'énoncé. Très bien. Troisième question. Déterminer les pentes des asymptotes en gain dans les limites hautes et basses fréquences, ainsi que leurs ordonnées à l'origine entre guillemets en x égale 1. Construire le diagramme de Bode asymptotique en gain sur la figure et déduire l'allure du diagramme réel. Bon. X, c'est quoi? C'est la pulsation réduite, on se souvient. Donc, c'est ω divisé par ωC. OK? C'est parti pour l'étude haute et basse fréquence. C'est un diagramme de Bode en gain. Il faut se ramener tout d'abord au module de H. C'est H0 fois x sur racine de 1 plus x². Donc, le gain en décibels, on se souvient, c'est le gain qu'on trace dans le diagramme de Bode. Donc, c'est 20 fois le log du module. En 0, c'est environ égal, enfin c'est équivalent, pardon. Comme ce terme s'annule à 20 log de ω plus 20 log de H0 sur ωC. Très bien. Donc, on a une pente, sachant qu'on trace le diagramme de Bode en fonction de log de ω. On a bien une pente de plus 20 décibels par décade. Lorsqu'on est en étude vers 0. Le gain en plus infini, qu'est-ce que ça nous donne? Ce terme prédomine au dénominateur. Donc, le dénominateur équivalent à racine de ω² sur ωC². Donc, c'est ω sur ωC. Et finalement, le gain en décibels, c'est bien équivalent en plus infini à 20 log de H0, qui vaut 0 vu que H0 vaut 1. Donc, la pente est de 0 en plus infini. C'est normal vu qu'on a établi un filtre pass O. Ainsi, on peut en déduire les asymptotes. Et puis, tracer le diagramme de Bode en gain du filtre RL. Donc, on peut tracer ici l'asymptote en 0, l'asymptote en plus infini. Et donc, l'allure réelle, c'est une version lissée et continue de ces approximations. Et donc, on la trace comme ça. Très bien. Prochaine question. Eh ben, c'était la dernière question. Donc, ça tombe bien. Qu'est-ce qu'on peut dire autrement pour la pulsation de coupure? On se rend compte que la pulsation de coupure, c'est la pulsation pour laquelle les deux asymptotes se rejoignent. C'est pratique si on veut la déterminer. Et autrement, je voudrais dire un mot sur les pentes des asymptotes. Donc, en fait, on se retrouve, et ce n'est pas un hasard, avec une pente de plus de 1 dB par décade et de 0. C'est-à-dire que la différence des asymptotes pour ce filtre passe O. Eh bien, elle est de 20 dB par décade. On passe de 20 à 0. Et ça, en fait, c'est caractéristique d'un circuit du premier ordre. Donc ici, on est du premier ordre, vu qu'on a simplement une bobine et une résistance. Donc, c'est le cas pour les filtres passe-haut du premier ordre, mais aussi les filtres passe-bas du premier ordre. Donc, si on avait un condensateur à la place de la bobine, on aurait, en diagramme de mode, une asymptote de 0, puis de moins 20. Donc, une différence de 20 également. Alors que pour ceux du second ordre, on peut essayer de prévoir, et en fait, on a une différence de 40 entre les deux asymptotes. Donc, les filtres passe-haut du second ordre, on a une asymptote de moins 40 dB par décade, puis 0. Les filtres passe-bas, on passe de 0 à moins 40. Et puis, les filtres passe-bans, on passe de moins 20, enfin de plus 20, pardon, à moins 1. Donc voilà, c'est une notion à retenir de cette étude des asymptotes. Ça permet de vérifier, voilà. Ici, on constate qu'on a un circuit du premier ordre, et c'est cohérent avec nos résultats. C'est une méthode de vérification supplémentaire que je vous donne. Mais autrement, pour garder l'esprit de l'exercice, c'est vraiment une résolution classique d'un circuit en régime sinusoidal forcé. Donc, merci beaucoup d'avoir suivi la vidéo, et puis à bientôt!

Filtre RL série

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