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Physique-Chimie

Physique

Régime sinusoïdal forcé et filtrage

Dans cette vidéo, nous étudions le circuit Bouchon, qui est constitué d'un dipôle avec une bobine et un condensateur montés en dérivation. Nous déterminons l'impédance complexe ZS d'un dipôle RLC série en fonction des composants, de R, de la pulsation propre et du facteur de qualité. Ensuite, nous exprimons l'impédance complexe Z du dipôle parallèle sous la forme R divisé par JCωZS, facteur de 1 plus JQω sur ω0. Nous montrons que lorsque le facteur de qualité est très élevé et la pulsation pas trop faible, l'impédance peut se mettre sous la forme approchée Z est environ égal à Q²R² sur ZS complexe. Nous déterminons également que le module de l'impédance complexe est maximal lorsque la pulsation est égale à la pulsation propre ω0, et que le circuit est alors bloqué, d'où l'appellation circuit bouchon. Enfin, nous déterminons les intensités réelles qui traversent respectivement le condensateur et la bobine en fonction de E0, Q et R, et constatons que le circuit est véritablement un circuit bouchon.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va étudier un circuit particulier, le circuit Bouchon. Considérons un dipôle constitué d'une bobine, inductance L et résistance interne R, montée en dérivation avec un condensateur. Il est alimenté par la tension sinusoidale E de T de pulsation ω variable. Voilà, tout est résumé sur la figure. Question préliminaire, exprimer l'impédance complexe ZS d'un dipôle où R, L et C seraient montés en série, d'abord en fonction des composants, puis de la résistance R, de la pulsation propre et du facteur de qualité. Donc on se place dans le cas RLC série. Et bien dans ce cas là, c'est très simple, l'impédance complexe résultante, c'est la somme des impédances complexes, donc R plus JLω plus 1 sur JCω. Et puis à partir de là, on fait apparaître les différentes grandeurs, artificiellement ou non. Ici on fait apparaître Q, ici aussi. Donc finalement on obtient ZS qui est égal à R facteur de 1 plus JQ, facteur de J, facteur de ω sur ω0 moins ω0 sur ω. Et on a bien répondu à la question. Deuxième question, exprimer l'impédance complexe Z du dipôle parallèle sous la forme R divisé par JCωZS, facteur de 1 plus JQω sur ω0. Donc on nous impose une forme très particulière, et c'est parti pour déterminer l'impédance de ce dipôle ici. Tout d'abord, il est constitué d'une partie en série, donc une impédance équivalente à déterminer, et puis ensuite on met en parallèle. Donc tout d'abord, on peut déterminer, ça c'est l'impédance de la série, et c'est parti pour déterminer l'impédance équivalente, donc c'est le produit des impédances sur leur somme de par la formule de dérivation des résistances. Donc, à part de cette expression, on multiplie en haut et en bas par JCω, donc c'est R plus JLω divisé par JCω, facteur de tout ce dénominateur. Or ce dénominateur, c'est concrètement ce qu'on a exprimé juste ici. C'est le dénominateur ZS, puisque c'est la somme des impédances. Donc finalement, c'est égal ici au numérateur, on le met en facteur R, R facteur de 1 plus JLω sur R, donc ça nous donne Lω0 sur R facteur de ω sur ω0, donc finalement c'est JQω sur ω0, et en bas on obtient bien JCω, facteur de l'impédance complexe de la série. Donc on a bien répondu à la question. Troisième question, montrer que lorsque le facteur de qualité est très élevé, donc Q très grand droit et la pulsation pas trop faible, l'impédance peut se mettre sous la forme approchée, Z est environ égal à Q²R² sur ZS complexe. Alors, si Q est très grand devant 1, et ω très grand devant ω0 sur Q, et bien concrètement, ce terme va prédominer devant 1, donc on peut approximer, c'est environ égal à RQ sur CωZS. Or Q, c'est clairement 1 sur RCω0. Donc, ici on a du Cω0, on peut faire artificiellement apparaître un R en mettant au carré un R ici, donc finalement on obtient bien Z, qui est environ égal à R²Q² divisé par ZS. Alors dans la suite de l'exercice, on se place dans le cadre de cette hypothèse, donc on garde cette expression pour l'impédance, montrer que le module de l'impédance complexe est maximal lorsque ω est égal à ω0. Quel est alors le comportement du circuit, et justifier sa délimination de circuit bouchon. Pourquoi est-ce qu'il a un nom aussi rigolo? Eh bien, le module de Z est maximal lorsque le module de ZS est minimal, or le module de ZS c'est R plus Lω-1 sur Cω². Donc la seule partie qui dépend de ω, c'est celle-là. Or c'est un carré, donc si on a une expression où ça vaut 0, c'est clairement le minimum. Et c'est le cas, c'est 0 si et seulement si ω est égal à 1 sur √LC, et c'est bon, ω0. On a bien répondu à la question. Maintenant, on se place à ω qui est égal à ω0, déterminer en fonction de E0, Q et R, les intensités réelles, Ic et Il, qui traversent respectivement le condensateur et la bobine. Commenter les résultats obtenus. Donc ça c'est une question typique de fin d'exercice d'électricité, où à partir des calculs qu'on a effectués, on essaie de se ramener aux signaux réels. Eh bien, on a l'expression de la tension E ici, donc on peut se ramener au courant qui traverse l'ensemble de la branche, et à partir d'une loi des nœuds, c'est l'idée à avoir, on va déterminer les différents Ia et Ic. Ah non, c'est même plus simple que ça, c'est-à-dire qu'on a l'impédance de cette branche ici, on sait la tension aux bornes de cette branche, donc on a juste à appliquer la loi d'Ohm. Parfois, il n'y a pas à avoir de vieux réflexes électro-cynétiques, on a essayé d'appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds, en général le travail suffit pour juste appliquer des équivalences de résistance et les lois d'Ohm. Ah oui, pardon, je n'avais pas justifié pourquoi c'était un circuit bouchon. Eh bien, à ce moment-là, la valeur de l'impédance en ω0, ça vaut Rq², et c'est très grand devant la résistance qu'on a placée en elle-même. En effet, à ce moment-là, on a une résistance qui est très grande de la part du dipôle, et donc elle va bloquer le passage du courant, c'est pourquoi l'ensemble de ce circuit forme un bouchon, puisqu'il bloque le passage du courant à une certaine fréquence. On reprend, IC par loi d'Ohm, c'est Jcω0 fois E, donc c'est 1 sur l'impédance complexe du condensateur, fois E. Donc on essaie de faire apparaître les grandeurs caractéristiques, c'est J sur Rqω0 fois ω0 fois E. Donc c'est concrètement 1 sur RqJ fois E. Maintenant on essaie de passer en réel, donc le E va simplement se transformer en réel, mais il faut faire attention pour le passage en réel, ici on a une exponentielle de moins Jπ sur 2, donc ça va se répercuter sur la phase de E. En effet, E sort avec la même expression mais défasée de π sur 2. Donc IC de T, c'est égal à 1 sur Rq et E0 cosinus de ω0 T plus π sur 2. Ensuite, qu'est-ce qu'on peut dire pour IL? C'est 1 sur R plus JLωE, c'est-à-dire 1 sur R plus JQRE, or on s'est placé dans l'hypothèse que Q était très grand devant 1, et donc c'est environ égal à 1 sur JQR fois E. Et donc la même manipulation, sauf que maintenant c'est du 1 sur J, donc exponentielle de moins Jπ sur 2, et donc ça ressort avec un cosinus de ω0 T moins π sur 2, et donc par transformation trigonométrique, il y a un moins qui apparaît devant cette expression. IL, c'est moins 1 sur RQ, E0 cosinus de ω0 T plus π sur 2, ou autrement on aurait pu dire que c'est égal ici à moins J sur QRE, donc exactement la situation inverse à celle-là. Et donc on a déduit que c'est égal à moins IC. Donc on retrouve un peu cette dénomination de circuit bouchon, vu que si on fait la loi des nœuds, le courant total qui circule dans la branche I, c'est la somme des deux, donc c'est 0. Donc bien sûr on s'est placé dans l'hypothèse juste ici, mais sous cette hypothèse, on retrouve très clairement dans les équations, ce qui est intéressant, la dénomination de circuit bouchon. Voilà pour l'étude de ce circuit. Merci beaucoup d'avoir suivi la vidéo et puis à bientôt.

Circuit bouchon

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