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Suites : Sujets d'écrits

Dans ce cours, on s'intéresse à la convergence de la suite produit qui est le produit des derniers consécutifs de 1N de la suite. On cherche à savoir à quelles conditions cette suite converge. La première question est de savoir si PN converge, est-ce que UN converge? Si PN converge vers L, alors on montre facilement que UN tend vers 1. Cependant, il est important de noter que si UN tend vers 1, cela ne signifie pas forcément que PN converge, comme le montre l'exemple de la suite régulière à 1 plus 1 sur N. Dans ce cas, PN tend vers plus l'infini.

Salut à toutes! Pour le deuxième Prépare tes écrits, on va regarder les séries produits cette fois, parce qu'en fait on fait beaucoup de sommes avec les tweets, mais on va s'intéresser ici à un cas particulier de produits, la limite d'un produit. Allez c'est parti! Alors j'ai découpé l'exercice en plusieurs parties. La première partie est un peu courte, voilà il y a la deuxième partie que vous trouverez dans la vidéo suivante. Alors on considère une suite de réels ici, non nulle, on définit une suite produit qui va être le produit des derniers consécutifs de 1N de la suite. Et on va voir à quelles conditions PN converge en fonction de ce qui se passe pour tous les huit cas. Donc première question, on va regarder un sens qui est en fait plutôt évident, on va voir que si PN converge, on aimerait montrer que UN converge, j'ai précisé sa limite. Donc on suppose que PN converge vers L. En fait ce qu'il faut remarquer c'est que UN ce n'est que le rapport de deux termes consécutifs entre PN et PN-1, donc forcément par passage à limite PN tend vers L, PN-1 aussi tend vers L, et donc j'ai UN qui tend vers 1. Et maintenant on va considérer une suite UN régulière à 1 plus 1 sur N, et on va régulier elle tend vers 1, puisqu'elle vaut 1 plus 1 sur N, et on va calculer PN et voir ce qui se passe. UN ça vaut 1 plus 1 sur N, donc N plus 1 sur N, par récurrence immédiate en fait on voit que PN est égal à N plus 1, pourquoi? Parce qu'en fait évidemment ça fait un produit qui se télescope, ça va faire UN, on a dit que c'est 2 sur 1, fois 3 demi, fois 4 tiers, etc. Et en fait tous les termes ils sautent, divisé par 5 quarts, etc. Il reste que le terme ici et le dernier terme à N plus 1. Donc en fait PN va tendre vers plus l'infini, donc on voit bien que la propriété qu'on a montré n'est pas une équivalence. Si ma suite PN converge alors UN tend vers 1, par contre si UN tend vers 1 ça ne veut pas du tout dire que PN converge. On a trouvé un exemple où ça tend vers plus l'infini. Voilà donc j'ai découpé la première partie, rendez-vous sur la prochaine vidéo pour la deuxième partie.

Limite d'un produit (partie 1)

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