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Suites : Sujets d'écrits

Ce cours explique comment la suite d'une série peut converger vers 1 en utilisant des termes consécutifs supérieurs à 0. La somme de ces termes consécutifs converge si et seulement si le produit de ces termes converge. Cependant, si on utilise la somme des ln des termes, le produit devient une série produit et la somme converge vers ln de la limite du produit moins le terme précédent. En se basant sur cette équivalence, il est possible de prouver la divergence d'une suite en utilisant une suite de racines n-ième de N et une inégalité impliquant ln de X sur X. Grâce à cette technique, il est possible de prouver la divergence de la suite Pn.

On continue vidéo 2 sur notre suite produit. Alors cette fois on considère une suite un qui converge vers 1. Pour ne pas avoir de problème de signes, on va considérer la série, la somme des termes consécutifs, à partir du rang auquel un est supérieur à 0. On va montrer qu'il existe un tel terme. Pour revenir à la définition, on peut prendre avec ε égale à 1 demi. Je sais qu'à partir d'un certain rang, ma suite va être compris entre 1 moins ε et 1 plus ε. Ici la limite inférieure va être 1 demi, qui est donc positive. À partir du moment où la suite existe, il existe un rang à partir duquel elle est dans cet intervalle là. C'est bien plus grand qu'1 demi qui est plus grand que 0. On définit cette série là. Vous allez voir qu'il y a un problème. Montrez que la suite Sn converge si seulement le produit Pn converge. Sn c'est la somme des termes consécutifs des Uk. Sauf que Uk on a dit qu'il tend vers 1. À un bout d'un moment, je vais commencer à être en n augment, je vais sommer des choses de plus en plus proche de 1. Ça va faire plus 1, plus 1, plus 1, plus 1. Il n'y a aucune chance que ça converge. C'est ce qu'on appelle une divergence grossière. En fait, la mal été définie Sn est la somme des ln de Uk. Et là ça a du sens, parce que si Uk tend vers 1, ln de Uk tend vers 0 et ça marche. En plus, la somme de ln par propriété de ln, c'est ln du produit. Et là je retrouve ma suite produit. C'est parfait, c'est exactement ce qu'on veut. Donc finalement, Sn, je me rends compte que c'est ln de Pn sur P indice N-1. Pourquoi? Parce que comme mon produit ne commence qu'à partir de N, il faut que c'est Pn divisé par tous les termes en dessous de N. Et donc ça c'est Pn-1. Donc si Pn tend vers L, alors évidemment Pn sur Pn-1 tend vers L sur Pn-1. Parce que N est fixé, il dépend pas de N, il dépend pas de N. Donc c'est une constante, en fait, ce truc là. Donc ça tend vers L sur Pn-1, et donc Sn, c'est simplement, ça tend vers Ln de L sur Pn-1. Donc ça marche. Maintenant, dans l'autre sens, si Sn tend vers une limite L', Pn, en fait, je l'isole et je vois que ça fait Pn-1 fois E de Sn. Et donc ça tend vers Pn-1 E de L', ça a aussi une limite. Donc il y a bien équivalence entre les deux. Dans ce cas-là, Sn converge équivaut à Pn converge. Maintenant, on considère une suite de termes racine n-ième de N, et la suite produit associée qu'on a définie tout à l'heure. Donc on nous demande de montrer une certaine inégalité qui va nous servir pour tout à l'heure. Donc Ln de X sur X, c'est une fonction strictement décroissante sur 3 plus infini. Donc ça, ça se démonte facilement. On pose Ln de X sur X, ça se dérive, pas de problème, je passe assez vite, c'est facilement dérivable. Ça fait 1-Ln de X sur X², et donc pour X supérieur à E, ce terme-là est négatif. Donc à partir de 3, qui lui-même est supérieur à E, donc c'est bon, ça marche. Donc, quelle que soit, j'ai bien une suite qui est décroissante, et donc pour tout P appartenant à N avec P inférieur à 3, j'ai par décroissance Ln de X sur X, qui est plus petit que Ln de P sur P. Et ensuite, j'intègre, puisque X est supérieur à P, j'intègre cette relation entre P et P plus 1, comme c'est vrai pour tout X appartenant à P et P plus 1. Donc l'intégrale de P à P plus 1 de Ln de X sur X, c'est plus petit que l'intégrale de Ln de P sur P, or c'est une constante par rapport à X, donc ça fait Ln de P sur P fois la largeur de l'intégrale. L'intégrale de P à P plus 1, donc elle est de largeur 1, donc c'est inférieur à Ln de P sur P. Donc parfait, ça va nous servir pour la suite. Ensuite, on va déduire la nature du produit Pn. Donc Un, ça fait un synonyme de N. Donc là je reviens à la définition avec l'exponential, ça fait E de Ln de N sur N, quand N tend vers l'infini, ça tend vers 1, cette suite. Donc on a bien les conditions précédentes, et donc d'après le critère précédemment établi, je sais que Sn qui est égal à la somme des Ln de Up à partir de 3, donc ça va être plus grand, et là j'utilise mon inéquation, Ln de P sur P. Je sais que ça va être supérieur ou égal à la somme de P égal 3N des intégrales de P à P plus 1 de Ln de T sur T. Et donc par chale, cette intégrale-là, ça fait une seule intégrale de 1 à N plus 1. Donc Ln de N sur Ln de Un, ça fait... Il me manque juste un truc... La question c'était... Racine énième de N, et on a ceci, Pn. Sn, ça vaut ça, la somme des Ln... Ah oui, pardon, ça marche, c'est ça, Ln de... C'est ce qui me manquait, pardon, j'ai jamais un doute là. Ln de Up, donc on reprend cette expression-là, E de Ln de N, ça fait bien Ln de P sur P. On peut bien utiliser cet encadrement-là. J'avais un doute là-dessus, j'étais un peu perdu. Donc c'est bon, tout est bon. Ensuite, maintenant, il faudrait calculer cette intégrale. Et donc là, on remarque que Ln de T sur T, c'est de la forme U prime U, avec U égal Ln de T, parce que la dérivée de Ln de T, c'est 1 sur T. Donc c'est parfait, finalement c'est facilement intégrable, et ça fait Ln de N plus 1 au carré sur 2. Et finalement j'ai Sn qui est supérieur à Ln de N plus 1 au carré sur 2, et donc j'en déduis que Sn diverge. Et d'après le critère utilisé précédemment, je sais que Sn diverge, ça implique que Pn diverge. Donc voilà pour cette partie, partie de fini, on passe tout de suite à la partie 3.

Limite d'un produit (partie 2)

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