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Fonctions (0) : Généralités

Dans cette vidéo, Corentin aborde les notions fondamentales d'axes et de centres de symétrie. Il présente quatre questions avec leur résolution. La première question demande de montrer que la droite d'équation x égale à 3 demi est un axe de symétrie du graph de la fonction. La seconde demande de montrer que le point de coordonnée 1,2 est un centre de symétrie, la troisième demande de montrer que le point de coordonnée 0,5 est un centre de symétrie, et la quatrième demande d'étudier les symétries de la courbe représentative de la fonction. Corentin rappelle également ce qu'est un axe et un centre de symétrie. Il propose de faire une représentation graphique de la fonction pour trouver les axes et centres de symétrie. Il conclut en expliquant que plusieurs axes de symétrie peuvent exister pour une fonction, d'où l'utilisation de la notation pour les montrer.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice que je trouve assez important à maîtriser puisqu'il aborde les notions fondamentales d'axes et de centres de symétrie. Commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Ce dernier se décompose en quatre questions. La première nous demande de montrer que la droite d'équation x égale à 3 demi est un axe de symétrie du graph de la fonction qui a x associé x²-3x plus 2. La seconde nous demande de montrer que le point y de coordonnée 1,2 est un centre de symétrie du graph de la fonction qui a x associé cette fois-ci 2x plus 1 divisé par x moins 1. La troisième nous demande de montrer que le point y de coordonnée 0,5 est un centre de symétrie de la fonction qui a x associé exponentielle de x divisé par exponentielle de x plus 1. Et enfin, on nous demande d'étudier les symétries de la courbe représentative de la fonction qui a x associé cosinus de x plus cosinus de 3x. Commençons tout de suite donc par la question 1. Ce que je vous propose de faire c'est un rappel sur ce qu'est un axe de symétrie. On dit que x égale à a est un axe de symétrie de la courbe représentative de f si pour toute x, telle que x moins a et x plus a appartiennent au domaine de définition de f, on est f de a moins x qui est égal à f de a plus x. Moi ce que je vous propose de faire pour la question 1, c'est de se raccrocher vraiment strictement au rappel. Soit x, telle que x moins 3,5 et x plus 3,5 appartiennent au domaine de définition de f. Et ça c'est pas très compliqué puisque le domaine de définition de f s'écrit en tout entier. Donc on n'a pas plus de questions à se poser que ça. Ce que je vous propose de faire c'est de mener le calcul à bien. On calcule f de 3,5 moins x, on réinjecte donc, on n'oublie pas les identités remarquables, on mène à bien nos calculs, on développe, on réduit, et on trouve que f de 3,5 moins x est égal à x au carré moins un quart. De même, f de 3,5 plus x est lui aussi égal à x au carré moins un quart. On en conclut donc, d'après le rappel, que x est égal à 3,5 est bien un axe de symétrie pour f. Attaquons à présent la question 2, qui nous demande de montrer, je vous le rappelle, que le point de coordonnée 1,2 est un centre de symétrie du graph de la fonction qui a x associé 2x plus 1 divisé par x moins 1. Encore une fois, ce que je vous propose de faire c'est un rappel sur ce qu'est un centre de symétrie. On dit que le point AB est un centre de symétrie de la courbe représentative de f si pour toute x, telle que x moins a et x plus a appartiennent au domaine de définition de f, f de a moins x plus f de a plus x est égal à 2 fois b. Un exemple vraiment fondamental, c'est le point 0,0, qui est le centre de symétrie de la fonction qui a x associé 1 sur x. Attaquons notre question. Soit x donc tel que x moins 1 et x plus 1 appartiennent au domaine de définition de f, qui est cette fois-ci r privé de 1. Ce que je fais, c'est que je calcule. Je calcule f de 1 plus x plus f de 1 moins x. Je réinjecte, je passe au même dénominateur, je développe, je réduis et j'obtiens 4. Conclusion, le point 1,2 est bien le centre de symétrie de f, puisque 4 est égal à 2 fois 2. Là, je ne vous apprends rien. Passons à présent à la question 3, qui nous demande quant à elle de montrer que le point de coordonnée 0,5 est le centre de symétrie du graph de la fonction qui a x associé exponentiel de x divisé par exponentiel de x plus 1. Encore une fois, ce que je fais, c'est que je calcule f de 0 plus x plus f de 0 moins x. Je réinjecte, je passe au même dénominateur. Petite astuce, je factorise par exponentiel de x dans cette parenthèse-là, ce qui me permet ensuite, en factorisant par exponentiel de moins x plus 1, de retrouver mon exponentiel de x plus 1, ce qui me permet de simplifier les fractions et de retrouver 1. Conclusion, le point 0,5 est bien le centre de symétrie du graph de la fonction f. Attaquons à présent la question 4. Ce que je vous propose de faire pour la question 4, c'est de faire une représentation graphique de notre fonction. C'est vraiment l'esprit à avoir pour trouver axes et centres de symétrie. C'est vraiment l'essence même de cet exercice-là. Et là, qu'est-ce que je remarque? J'ai remarqué une espèce de périodicité. Je remarque que tous les deux capilles, j'ai un axe de symétrie. En effet, la fonction est périodique, que ce soit en plus l'infini ou en moins l'infini. Je peux prendre des axes qui sont décalés par rapport à l'axe des ordonnées. Ça n'en reste pas moins des axes de symétrie. Montrons donc que x qui est égal à 2 capilles pour k dans Z sont des axes de symétrie de f. Encore une fois, ce que je vais faire, c'est que je vais me rapprocher au rappel. Soit x dans R, et ce que je calcule, c'est f de x plus 2 capilles. Je remarque que c'est égal à cosinus de 2 capilles plus x plus cosinus de 6 capilles plus 3x. Et ça, par périodicité du cosinus, c'est égal à cosinus de x plus cosinus de 3x. De même, f de x moins 2 capilles, c'est égal à cosinus de x moins 2 capilles plus cosinus de 3x moins 6 capilles. Et par 2pi périodicité du cosinus, c'est égal à cosinus de x plus cosinus de 3x. Conclusion, les axes de capilles sont des axes de symétrie de f. Et vous remarquerez que c'est pour ça qu'on utilise la notation pour montrer que tel axe est un axe de symétrie. En effet, une fonction peut avoir plusieurs axes de symétrie.

Axes de symétrie d’une fonction

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