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Fonctions (0) : Généralités

Dans ce cours, nous abordons l'exercice de démontrer que deux fonctions sont bornées sur R. La première fonction est f(x) = x^2 / (x^2 + 1) et la deuxième fonction est g(x) = x / (x^2 + 1).

Pour démontrer que ces fonctions sont bornées, nous utilisons le rappel que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Pour la première fonction, nous remarquons que la limite de f(x) lorsque x tend vers l'infini est égale à 1, de même que la limite de f(x) lorsque x tend vers moins l'infini. En utilisant la définition de limite, nous trouvons deux réels a1 et a2 tels que pour tout x supérieur ou égal à a1, f(x) est compris entre 1 - epsilon et 1 + epsilon, et pour tout x inférieur ou égal à a2, f(x) est compris entre 1 - epsilon et 1 + epsilon. En utilisant le fait que f(x) est continue sur le segment [a2, a1], nous trouvons un petit m et un grand m tels que pour tout x dans ce segment, f(x) est compris entre m et M. Ainsi, pour tout x dans R, f(x) est compris entre le minimum de 1 - epsilon et m et le maximum de 1 + epsilon et M. Nous remarquons que ces bornes sont indépendantes de x, ce qui nous permet de conclure que f(x) est bornée sur R. 

Pour la deuxième fonction, nous remarquons que la limite de g(x) lorsque x tend vers l'infini et lorsque x tend vers moins l'infini est égale à 0. En utilisant la définition de limite, nous trouvons deux réels a1 et a2 tels que pour tout x supérieur ou égal à a1, g(x) est compris entre 0 et epsilon, et pour tout x inférieur ou égal à a2, g(x) est compris entre 0 et epsilon. En utilisant le fait que g(x) est continue sur le segment [a1, a2], nous trouvons un petit m et un grand m tels que pour tout x dans ce segment, g(x) est compris entre m et M. Ainsi, pour tout x dans R, g(x) est compris entre le minimum entre m et -epsilon et le maximum entre M et epsilon. Nous concluons donc que g(x) est bornée sur R.

En résumé, les deux fonctions f(x) = x^2 / (x^2 + 1) et g(x) = x / (x^2 + 1) sont toutes les deux bornées sur R selon les démonstrations effectuées ci-dessus.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve encore une fois sur un exercice important à maîtriser à mon sens puisqu'il aborde beaucoup de notions que nous allons voir en prépa. Cet exercice, quel est-il ? On nous donne deux fonctions f qui a x associé x au carré divisé par x au carré plus 1 et une seconde qui a x associé x divisé par x au carré plus 1 et c'est à nous de montrer que ces deux fonctions sont bornées sur R. Comme toujours, comme je suis très gentil, ce que je vous propose de faire c'est un rappel sur quelque chose qui va nous être très utile au cours de cet exercice. Ce rappel nous dit que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Vous allez voir, je ne vais pas vous mentir, on va s'en servir tout le temps. Pour notre première fonction, qu'est-ce qu'on remarque ? On remarque que la limite de f de x lorsque x est envers plus l'infini est égale à la limite de f de x lorsque x est envers moins l'infini est égale à 1. A partir de là, par définition de la limite, soit epsilon un réel arbitrairement petit, il existe a1 et a2 dans R tel que pour tout x supérieur ou égal à 1, f de x est compris entre 1 moins epsilon et 1 plus epsilon. Et pour tout x inférieur ou égal à a2, f de x est compris entre 1 moins epsilon et 1 plus epsilon. Aussi, puisque f est continu sur le segment a2, a1, il existe un petit m et un grand m appartenant à R tel que pour tout x dans le segment a2, a1, f de x est compris entre petit m et grand m par le rappel. Ainsi, pour tout x dans moins l'infini a2 union a2, a1 union a1 plus l'infini, ce qui représente R tout entier, f de x est compris entre le minimum de 1 moins epsilon et petit m et le maximum de 1 plus epsilon grand m. On remarque que ces deux bornes sont indépendantes de x, on peut donc en conclure que f est borné sur R. Pour notre seconde fonction, c'est exactement la même chose. Si vous avez compris la première, vous aurez compris la seconde. Ce que je vous propose de faire d'ailleurs, c'est d'essayer de la résoudre en autonomie cette deuxième question et puis vous lancer la vidéo après. Qu'est ce qu'on remarque pour cette fonction cette fois-ci ? On remarque que la limite de f de x lorsque x tend vers plus l'infini est égale à 0 et que la limite lorsque x tend vers moins l'infini de f de x est égale à 0. Encore une fois, par définition de la limite, soit epsilon un réel arbitrairement petit. Il existe alors a1 et a2, tel que pour toute x supérieure ou égale à a1, f de x soit compris entre 0 et epsilon et pour toute x inférieure ou égale à a2, f de x soit compris entre 0 et epsilon et 0. De plus, f est continu sur le segment a1, a2. Donc il existe encore une fois petit m et grand m dans R tel que pour toute x dans le segment a1, a2, f de x est compris entre petit m et grand m. Je vous avais dit c'est exactement la même chose que tout à l'heure, c'est juste la limite qui est légèrement différente. Ainsi, pour toute x entre moins l'infini a1 union a1 a2 union a2 plus l'infini, ce qui représente R tout entier, f de x est compris entre le minimum entre petit m et moins epsilon et le maximum entre grand m et epsilon. Deux bornes qui sont indépendantes de x. On en conclut donc que f est borné sur R.

Fonction bornée

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