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Parité et dérivation
Aujourd'hui, nous abordons un exercice intéressant qui traite de la parité, de l'imparité des fonctions et de la dérivation. On considère une fonction F de R dans R, dérivable sur R, et on veut montrer que si F est paire, sa dérivée est impaire, et si F est impaire, sa dérivée est paire. Nous allons également généraliser cette propriété aux dérivées d'ordre supérieur et nous poser des questions sur les primitives.
Pour commencer, montrons que si F est paire, sa dérivée est impaire. Soit X dans le domaine de définition de F'. Comme F est paire, on sait que F(X) = F(-X). En dérivant cette égalité, on obtient F'(X) = -F'(-X). En réinjectant cette égalité dans notre première équation, on en déduit que F'(X) = -F'(X), donc F' est impaire.
De même, montrons que si F est impaire, sa dérivée est paire. Soit X dans le domaine de définition de F'. Comme F est impaire, on a F(X) = -F(-X). En dérivant cette égalité, on obtient F'(X) = F'(-X). En utilisant la formule de dérivation de la composée, on conclut que F' est paire.
Maintenant, généralisons le résultat. Supposons que F est une fonction paire. Par récurrence sur N, on veut montrer que F^(2N+1) est impaire et F^(2N) est paire. L'intuition vient du fait que lorsqu'on dérive une fois, on change la parité, mais lorsque l'on dérive deux fois, on retrouve la parité initiale. Pour prouver cela, on commence avec des petites valeurs de N. La base de la récurrence H1 a déjà été démontrée.
Maintenant, montrons l'hérédité. En supposant que F^(2N+1) est impaire, en dérivant, on trouve que F^(2N+2) est paire. En dérivant encore une fois, on obtient que F^(2N+3) est impaire. En réalité, cette récurrence aurait pu être immédiate, mais l'écriture formelle est nécessaire pour la clarté.
Maintenant, voyons un contre-exemple. Nous prenons la fonction f(x) = x². Nous savons que cette fonction est paire. Cependant, en intégrant f(x), nous obtenons la fonction F(x) = x³/3 + 6, qui n'est ni paire ni impaire. Cela nous rappelle qu'une primitive d'une fonction n'est pas unique.
En conclusion, nous avons montré que si F est une fonction paire, sa dérivée est impaire, et si F est impaire, sa dérivée est paire. Nous avons également généralisé cette propriété aux dérivées d'ordre supérieur. Cependant, il faut faire attention car les primitives d'une fonction ne sont pas toujours paires ou impaires.
