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Complexes : Sujets d'écrits

Dans cette vidéo, Mathis de Studio calcule l'air d'un triangle à l'aide de nombres complexes. Il montre que les complexes ont la même partie imaginaire et que celle-ci est non nulle en utilisant une formule de produit vectoriel. Il introduit ensuite la notion de triangle direct et montre que la partie imaginaire de conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A, permet de déterminer si le triangle est direct ou non. Enfin, il montre que 1 demi de la partie imaginaire de conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A, est égal à epsilon fois l'air du triangle ABC, où epsilon est un pseudo-symbole de Kronecker, qui vaut 1 si ABC est direct et moins 1 si non. Ce cours complet sur la représentation des nombres complexes en géométrie donne des outils pour résoudre des exercices complexes.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio, et dans cette vidéo, on va calculer l'air d'un triangle en se servant des complexes. Alors, soit A, B et C, trois points qui sont non-alignés, d'affixes, de fixes, pardon, petit A, petit B et petit C. On note grand A, A, B, C, l'air du triangle A, B, C. Ok, première question plutôt calculatoire, montrer que les complexes, donc le premier c'est conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A. Le deuxième est conjugué de C moins conjugué de B, facteur de A moins B. Et finalement, conjugué de A moins conjugué de C, facteur de B moins C. On va montrer donc que les complexes ont la même partie imaginaire et que celle-ci est non nulle. Ok, donc première question, alors ça fait intervenir les conjugués. Or, ici on n'a pas trop, pas d'un peu rien, les conjugués on sait que c'est lorsqu'on oppose la partie imaginaire par rapport aux nombres complexes de base, donc ce qui est bien c'est de faire, justement de poser des notations, il faut prendre ces responsabilités et poser des notations, afin de faire intervenir cette partie imaginaire pour chacun des nombres complexes. Alors c'est parti, si on pose A comme étant XA, sa partie réelle, plus Y fois YA, sa partie imaginaire, et bien on fait ça pour les trois nombres, juste ici, trois nombres complexes, et puis c'est parti, on nous demande d'extraire une partie imaginaire, donc on va calculer tout d'abord ce nombre complexe juste ici, et lorsqu'on va tout d'abord extraire la partie imaginaire, on peut regarder directement qu'est-ce qu'on va obtenir, et bien si on multiplie effectivement XB moins XA avec YC moins YA, on va obtenir du I devant, donc c'est bien un nombre imaginaire, et puis pour l'autre partie de la multiplication, ce sera YA moins YB fois XC moins XA, les autres, les IS qu'on pense, ou alors c'est directement des nombres réels, donc on n'y touche pas. Alors, la partie imaginaire de ce nombre complexe, c'est donc, juste ici, ce calcul, et on expose tout pour voir concrètement qu'est-ce qu'on obtient, et bien justement, on obtient YAXC moins YBXC plus YBXA plus YCXB moins YCXA moins YAXB. Ok, donc très bien, à partir de là, qu'est-ce qu'on peut en dire, sachant qu'on doit montrer que c'est toujours le même en fonction du nombre complexe que l'on regarde. Et bien, on pourrait tenter de directement passer sur le calcul de la partie imaginaire de cette quantité, ça marcherait, mais au final, on peut se servir d'une petite astuce de calcul mathématique, c'est souvent le cas, lorsque l'on doit montrer pour des nombres quelconques, ici, A, B et C sont quelconques, on le retient, or, B, pour passer au nombre complexe d'après, on peut simplement remplacer B par C, remplacer A par B, et remplacer C par A. Donc il y a une permutation ici circulaire, et comme les nombres sont quelconques, et bien ici on remarque que si on remplaçait A par B, et puis, comme on l'a dit, A par B, B par C, C par A, peu importe la manière dont on permute circulairement, et bien on obtiendrait toujours la même quantité, vu que ça fait intervenir à chaque fois tous les indices couplés. Donc au final, on se sert de la phrase magique qu'il faut mettre dans son DS, par symétrie des rôles entre A, B et C, en effet A, B et C sont quelconques et ne jouent pas de rôle distinct, et bien les trois nombres complexes ont tous la même partie imaginaire. Il faut maintenant montrer qu'elle est non nulle, et bien comment montrer que ce nombre juste ici est non nul? En fait c'est en regardant bien l'expression que ça doit nous faire penser à quelque chose. En effet, ce couplage qu'il y a entre les différentes composantes, ça peut nous faire penser à un produit vectoriel. En effet c'est la formule du produit vectoriel qu'il faut connaître par cœur. Donc on peut proposer un produit vectoriel et voir si ça marche, et en effet ça marche pour, par exemple, ce produit vectoriel ici, xA-xB, yA-yB, vectoriel xA-xC, yA-yC. Donc si on développe ce produit vectoriel, on tombe sur cette expression. C'est donc le produit vectoriel de deux vecteurs, le vecteur AB avec le vecteur AC. Or, le produit vectoriel a des propriétés très précises, en particulier, un produit vectoriel est nul, si et seulement si les deux vecteurs sont parallèles. Or ici, effectivement A intervient dans les deux vecteurs, donc ça correspondrait à des points alignés, hop, bingo. A, B, C ne sont pas alignés, donc ce nombre est non nul. Voici ce qu'il fallait dire pour la première question. Ensuite, on nous introduit une notion, on dit que le triangle ABC est direct, si et seulement si la partie imaginaire de ce nombre, conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A, est strictement positive. Et puis c'est indirect, dans le cas contraire, on rappelle aussi que l'air d'un triangle ABC, c'est 1 demi fois la longueur AB fois la longueur CH, où H est le projeté du point C sur la droite AB. Montrez maintenant que 1 demi de cette quantité, de la partie imaginaire de conjugué de B moins conjugué de A, facteur de C moins A, est égal à epsilon fois l'air du triangle ABC, epsilon étant un pseudo-symbole de Kronecker, qui vaut 1 si ABC est direct et moins 1 si non. Très bien, donc on nous introduit ici des points particuliers, en particulier H, un projeté, donc on a un peu du mal à se repérer comment le faire transfigurer en nombre. Alors le plus simple dans ces cas-là, c'est d'en revenir à de la géométrie, et donc à des schémas. On va schématiser la situation, juste ici, avec le triangle ABC et en projetant H, la hauteur du triangle. Donc, à partir de là, on note les différentes longueurs, et ça correspond à quoi? Il faut connaître ces formules, ça correspond à quoi? Le produit vectoriel de AB par AC, et bien c'est la norme des deux vecteurs, donc AB fois AC, fois la valeur absolue du sinus de l'angle entre les deux vecteurs. Donc ici, c'est l'angle, là. Or le sinus, maintenant qu'on a fait le schéma, on peut l'exprimer, le sinus de θ, c'est CH divisé par AC, côté opposé divisé par hypoténuse, mais plus ou moins, car effectivement, là, on a un petit angle θ, mais ça dépend comment est-ce qu'il est orienté, et ça, ça dépend si le triangle est direct ou non. Donc suivant son orientation, c'est plus ou moins CH fois AC, et justement, on obtient une relation entre le produit vectoriel, qui vaut donc AB fois CH, plus ou moins. Vous voyez où on veut en venir. Epsilon, donc, fois l'air du triangle ABC, c'est plus ou moins 1 demi fois AB CH suivant si le triangle est direct ou non. C'est donc 1 demi fois le produit vectoriel de AB par AC, et donc 1 demi, de la partie imaginaire de conjugue A de B moins conjugue A, facteur de C moins A. On obtient donc la bonne conclusion à notre exercice. Voilà, c'est un exercice très complet sur la représentation des nombres complexes. C'est toujours cette... Pardon, en géométrie, c'est toujours ce développement parallèle qu'on peut faire, qui est bien à savoir maîtriser, savoir se repérer, et savoir aller de l'un à l'autre en fonction de la fixe du nombre complexe en question, et à partir de là, ça permet de faire de beaux exercices comme celui-là. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis à bientôt!

Interprétation géométrique

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