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Le tour des sommes
Dans cette vidéo, on aborde plusieurs propriétés des nombres complexes.
D'abord, on montre que si les arguments de deux nombres complexes Z et Z' sont les mêmes, alors le conjugé de Z multiplié par Z' appartient à R+ (les réels positifs).
Ensuite, on démontre l'inégalité triangulaire pour le module de la somme de deux nombres complexes. Cette inégalité devient une égalité si et seulement si le produit du conjugé de Z par Z' appartient à R+.
On utilise ensuite une démonstration par récurrence pour montrer que pour n nombres complexes, le module de la somme de ces n nombres est inférieur ou égal à la somme des modules de ces nombres.
On prouve également qu'il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si le produit du conjugé de chaque paire de nombres dans la somme appartient à R+.
Enfin, on examine une somme avec des coefficients complexes et on montre que si la somme des ces coefficients est égale à zéro, alors la somme des modules des nombres complexes correspondants est inférieure ou égale à la somme des modules de la différence entre z et chaque nombre.
Cette inégalité devient une égalité si et seulement si le produit du conjugé de chaque coefficient par la différence entre z et chaque nombre appartient à R+.
Le cours se termine en affirmant que si la somme des modules des nombres complexes est inférieure ou égale à la somme des modules des différences entre z et chaque nombre, alors chaque paire de conjugé de coefficient multiplié par la différence entre z et chaque nombre appartient à R+.
