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Fonctions (0) : Généralités

Dans cette vidéo, l'objectif est de résoudre une équation fonctionnelle. On nous demande de trouver toutes les fonctions continues de 0,1 dans R qui vérifient pour tout x appartenant à 0,1 f de x sur 2 plus f de x plus 1 sur 2 est égale à 3 f de x. Pour démarrer, le speaker teste différentes fonctions classiques. Il montre que f égale à 0 fonctionne et décide alors de prouver par l'absurde que f ne peut être égal qu'à 0. Après avoir montré que f est bornée et atteint ses bornes, il utilise la supposition par l'absurde pour montrer que f ne peut être égal qu'à 0. La preuve est simple, le maximum ou le minimum de f doit être différent de 0, sinon f serait égale à 0. S'il est différent de 0, cela mène à une contradiction, montrant ainsi que f doit être égal à 0.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qui fait peur à pas mal de monde puisqu'il s'agit de résoudre une équation fonctionnelle. Alors commençons tout de suite par lire l'annoncé. On nous demande de trouver toutes les fonctions continues de 0,1 dans R qui vérifient pour tout x appartenant à 0,1 f de x sur 2 plus f de x plus 1 sur 2 est égale à 3 f de x. Et on nous demande pour cela d'utiliser le minimum petit m et le maximum grand n de la fonction avec des inégalités. Moi ce que je fais dans ce cas, face à une équation fonctionnelle, c'est vrai qu'on ne sait jamais trop comment démarrer. Moi ce que je fais, c'est vraiment que je teste pour des fonctions que je connais assez bien, des fonctions classiques. Déjà pour f égale à 0, on remarque que ça marche puisqu'on aurait 0 plus 0 est égale à 3 fois 0. En revanche, pour f égale à constante, ça ne marche pas. Pour f égale à x non plus. Pour f égale à exponential de x ou logarithm de 2x non plus. Donc ce que j'ai envie de faire, moi, c'est de me raccrocher à la seule chose que j'ai réussi à voir pour l'instant, c'est que f égale à 0 ça marche. Et bien ce que j'ai envie de faire, c'est de le montrer par l'absurde. Donc on va voir si j'arrive à faire une preuve juste et à montrer que finalement f ne peut être égal qu'à 0. Supposons donc par l'absurde que f est différent de 0. f est continue sur un segment, donc elle y est bornée et atteint ses bornes. Ça c'est un des théorèmes fondamentaux de ton chapitre sur l'analyse. Soit donc petit m et grand m, vérifiant pour tout x appartenant à 0, 1, et bien f de x est compris entre petit m et grand m. Mais alors en particulier pour tout x dans 0, 1, et on aurait f de x sur 2 plus f de x plus 1 sur 2 est compris entre 2 fois petit m et 2 fois grand m. J'ai oublié le 2 ici. Sauf que ça d'après l'énoncé, c'est égal à 3 fois f de x. Or f est différent de 0. Donc m ou petit m est différent de 0. C'est obligatoire puisque f est différent de 0, on a forcément le maximum ou le minimum qui est différent de 0. Supposons sans perdre de généralité que c'est le maximum qui est différent de 0, puisque la preuve de toute façon avec le minimum différent de 0, c'est exactement la même. Soit alors x indice grand m vérifiant f de x indice grand m est égal à grand m. Et ça, ça existe puisque f atteint ses bornes. On l'a montré au tout début de l'exercice. A partir de là, on a alors 3 fois f de x indice grand m qui serait inférieur ou égal à 2 fois grand m. Sauf que f de x indice grand m, par définition de f indice grand m, c'est égal à 3 grand m. On aurait alors 3 grand m inférieur ou égal à 2 grand m. Avec m, on le rappelle, qui est différent de 0, c'est ce qu'on a supposé. Et ça, c'est totalement absurde. Conclusion, on a bien f est égal à 0. Vous avez vu, ce n'était pas si compliqué finalement.

Equation fonctionnelle

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