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Cet exercice concerne les fonctions logarithmiques et se compose de plusieurs questions. 

Dans la première question, on nous donne une équation avec la fonction logarithmique et on nous demande combien de solutions elle a. En résolvant l'équation, on trouve deux solutions, donc la réponse est "exactement une solution".

Dans la deuxième question, on nous donne une fonction et on nous demande si elle est convexe ou concave. En utilisant la dérivée seconde de la fonction, on trouve qu'elle a un point d'inflexion, donc la réponse est "elle a un point d'inflexion".

Dans la troisième question, on nous donne une fonction et on nous demande de trouver une primitive de cette fonction. En utilisant une méthode rapide, on identifie une forme similaire à celle de la dérivée du logarithme, et on trouve que la primitive est "-1,5 log de (1 - x carré)".

Dans la quatrième question, on nous donne une fonction et on nous demande dans quel intervalle elle est strictement positive. En étudiant le signe du polynôme correspondant, on trouve que la fonction est strictement positive dans l'intervalle (-3, 2), donc la réponse est "x appartient à (-3, 2)".

Dans la cinquième question, on nous donne une fonction et on nous demande l'équation de sa tangente en un point donné. En utilisant la dérivée de la fonction et les coordonnées du point, on trouve que l'équation de la tangente est "2x - 1".

Enfin, dans la dernière question, on nous donne une inégalité avec des logarithmes et on nous demande quel ensemble de solutions est correct. En résolvant l'inégalité, on trouve que les valeurs de x doivent être dans l'intervalle (-∞, -2) U (1, +∞), donc la réponse est "x ∈ (-∞, -2) U (1, +∞)".

Voilà pour ce résumé SEO-friendly de l'exercice sur les fonctions logarithmiques.

Salut, bienvenue dans cet exercice type back sur le thème des fonctions et en particulier la fonction logarithme. Donc cet exercice c'est un QCM, donc on va traiter chaque question indépendamment. Donc c'est parti, la première question. On nous dit, on considère la fonction f définie pour tout réel par f2x égale log de 1 plus x carré sur R et on considère l'équation f2x égale 2022. On nous propose quatre formulations, donc l'équation n'admet aucune solution, elle admet deux solutions ou exactement une solution ou une infinité de solutions. On va juste remplacer et voir ce qui se passe. f2x égale 2022, ça veut dire log de 1 plus x carré est égale à 2022. Pour faire ça on passe à l'exponentiel. Exponentiel, voilà, on passe, c'est défini, il n'y a pas de souci. Donc on a exponentiel de log de 1 plus x carré, ça nous fait juste 1 plus x carré, et à droite on a exponentiel de 2022. Donc ce qui nous intéresse c'est x, on veut trouver x. On passe l'un de l'autre côté ici et on a exponentiel de 2022 moins 1 égale x carré. Ce truc là est strictement positif, parce que 2022 est strictement positif, d'accord ? Ce qu'il faut savoir c'est que exponentiel de 0 est égal à 1, et exponentiel d'un truc positif est plus grand que 1. Donc ça c'est strictement positif. Donc x carré égale un nombre positif, il y a exactement deux solutions, la racine de ce truc et moins la racine de ce truc. Donc finalement il y a deux solutions, donc c'est la réponse C. Question 2, on nous dit on définit la fonction G par, donc pour tout réel x strictement positif, par x log de x moins x carré. C'est G, c'est la courbe représentative, et en fait on nous parle, on dit elle est convexe, elle a un point d'inflexion, elle est concave, deux points d'inflexion. On va devoir y passer, on va étudier la convexité de G. Pour ça on va étudier le signe de la dérivée seconde, c'est une des façons les plus simples pour étudier la convexité d'une fonction. Donc la dérivée ici, elle est assez simple à calculer, donc la dérivée ici c'est un produit, il ne faut pas oublier, x log de x c'est un produit, la dérivée c'est log de x plus 1, parce que donc là si on voit que c'est u et v, donc ça fait u prime v plus u v prime, d'accord, u v prime ça fait x fois 1 sur x qui nous fait 1, moins x carré en le dérivant ça nous fait moins 2x, qu'on retrouve ici. On dérive cette fonction, log de x devient 1 sur x, le 1 il saute quand on fait la dérivée, le moins 2x devient moins 2. Donc on a la dérivée seconde, c'est celle là qui nous intéresse, on va étudier son signe. La dérivée seconde, on étudie son signe, on voit que entre 0 et 1 demi elle est positive, et entre 1 demi et plus l'infini elle est négative, et que ça vaut 0 quand x vaut 1 demi, et donc c'est la réponse c. Il y a exactement un point d'inflexion, parce que petit rappel, un point d'inflexion c'est quand la dérivée seconde change de signe, donc là on a un point d'inflexion, donc réponse c. Question 3, donc on nous dit cette fois ci on considère la fonction f définie par f de x égale x sur 1 moins x carré, et on cherche une primitive de la fonction f, on nous propose quatre fonctions. Donc la méthode lente c'est de dériver chaque fonction pour retrouver f. Si on sait pas quoi faire et qu'on a du temps, si on sait pas par où partir et qu'on a beaucoup de temps, on peut faire ça, on dérive toutes les fonctions, il y en a une qui va marcher forcément sur laquelle, enfin en dérivant on retrouvera f, mais la méthode rapide c'est directement de trouver une primitive. Là il y a quelque chose qu'on peut observer, c'est qu'on a une fraction, quand on a une fraction on essaye de reconnaître du u' sur u, alors là ici si on identifie u, la dérivée de 1 moins x carré c'est moins 2x, on n'a pas moins 2x, on a x, donc en fait si celui-ci on identifie que c'est u, celui-ci c'est moins u' sur 2, parce que c'est moins 2x sur 2, donc on a quasiment réussi parce que le moins 1,5 on le met devant et on reconnaît u' sur u, u' sur u c'est la dérivée de log de u, donc avec le u qui est 1 moins x carré, donc finalement si on a cette forme là dans la dérivée, une primitive serait moins 1,5 qui vient d'ici, qu'on ne touche pas, la constante multiplicative, log de u de x donc ça veut dire moins 1,5 log de 1 moins x carré, et ça c'est la réponse A, donc voilà pour cette question. Ensuite on nous dit, question 4, la fonction qui a x associé log de moins x carré moins x plus 6, elle est définie, voilà on nous donne quatre ensembles de définition, ce qu'il faut savoir c'est que l'ogarithme de quelque chose est défini si et seulement si le quelque chose est strictement positif, donc log de moins x carré moins x plus 6 existe si et seulement si moins x carré moins x plus 6 est strictement positif, c'est un polynôme du second degré, on va étudier son signe. Bon, classique, on fait le delta, b carré moins 4, assez positif, il y a deux racines, on calcule les deux racines avec des formules, moins b plus ou moins racine de delta sur deux a, on trouve 2 et moins 3, on fait le tableau de signes, rappel pour le tableau de signes, un polynôme du second degré, entre les racines on a le signe contraire de A, et à l'extérieur des racines on a le signe de A, ici notre A c'est moins 1, ce qui est moins x carré, donc c'est moins 1, donc à l'extérieur on trouve moins, au milieu on trouve plus, et nous ce qu'on veut c'est strictement positif, donc on veut entre moins 3 et 2, avec moins 3 et 2, exclu, donc voilà, le polynôme est strictement positif pour x appartient à moins 3, 2, moins 3, 2, exclu, donc c'est exactement la réponse A. Question d'après, on nous dit on considère la fonction f définie sur 0,5 plus l'infini par f de x égale x carré moins 4x plus 3 log de 2x moins 1. Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point lapsus 1, c'est, et voilà, on nous propose quatre équations de droite. Ce qu'il faut savoir c'est que, déjà, on va regarder cette histoire de coefficient directeur, parce qu'on sait qu'une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point lapsus 1, elle a pour coefficient directeur f prime de 1. Alors on va regarder que vaut f prime de 1. Déjà on pourrait en éliminer parce que là on voit qu'il y a 2 comme coefficient directeur, lui il a moins 3 comme coefficient directeur, et lui il a 4. Donc on va voir ce qu'on peut éliminer. Donc la dérivée, on dérive ça, c'est une somme de fonctions, donc la dérivée de x carré c'est 2x, la dérivée de moins 4x c'est moins 4, et la dérivée de 3 log de 2x moins 1 c'est 3 fois 2 sur 2x moins 1, d'accord. Log de u, on vient de le voir tout à l'heure mais en primitivant, la dérivée de log de u c'est u prime sur u, u prime c'est 2, u c'est 2x moins 1. Nous ce qui nous intéresse c'est f prime de 1, on remplace x par 1 là dedans, ça nous fait, après calcul, on trouve 2. Donc le coefficient directeur c'est 2, donc on n'a que ces deux possibilités. Maintenant il faut voir que vaut par exemple f prime de 1, parce que, pour rappel, l'équation de la tangente elle s'écrit comme ça. La tangente en moins 1, son équation de droite c'est f prime de 1 fois x moins 1 plus f de 1, donc on a besoin de f de 1. Là on remplace x par 1 dans cette formule tout simplement, on trouve que ça fait moins 3, donc on remplace dans cette formule tout ce qu'on sait, donc f prime de 1 et f de 1, on remplace ça, on trouve que ça fait 2 fois x moins 1 moins 3, et donc 2x moins 1. Donc c'est la réponse D. Alors dernière question, on nous propose une équation log de x plus 3 inférieur strictement à 2 log de x plus 1, et on nous propose 4 ensembles de solutions, dont 1 qui est l'ensemble vide, ça veut dire qu'il n'y a pas de solution. On va résoudre et on va voir ce qu'il se passe. Donc on a une inégalité de log, on ne peut pas passer à l'exponentiel tout de suite parce que le 2 va nous embêter un peu en réalité. Donc là ce qu'on fait c'est qu'on veut avoir une inégalité juste de 2 logs, parce que là il y a un petit 2 qui nous embêtait en réalité. Donc le 2, on utilise les propriétés du log, le 2 on va le mettre en puissance dans le x plus 1, ce qui nous fait log de x plus 3 strictement inférieur à log de x plus 1 au carré. Et donc maintenant on a une inégalité de 2 logs, la fonction log étant croissante et strictement bijective, on a en réalité une inégalité de ce qui est dans le log. Donc ça veut dire x plus 3 strictement plus petit que x plus 1 au carré. On passe tout à droite et on développe cette identité remarquable, donc ça nous fait x carré plus 2 x plus 1 moins x moins 3, qui correspond à ça qu'on a passé à droite, strictement positif. Après réduction on trouve que x carré plus x moins 2 à droite, et donc on veut que ce soit strictement positif. On a encore une étude de polynôme du second degré à faire. Donc voilà, toujours la même chose, on calcule le discriminant, on trouve que c'est 9, on a les deux racines. Alors là il y avait une autre méthode, on aurait pu trouver une racine évidente, c'est vrai que c'est quelque chose qu'on fait. 1 aurait été une racine évidente à trouver, on aurait pu factoriser comme x moins 1 fois x plus 2, mais bon voilà, si jamais on ne trouve pas de racines évidentes, moi je préfère le faire en tout cas pour les corrections, pour voir un peu tous les cas de figure possible. On place les racines, le signe de A est le signe à l'extérieur des racines, le signe contraire de A c'est le signe entre les racines. Ici le A c'est 1, donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. Nous on veut que ce soit strictement positif, donc on veut entre moins l'infini moins 2, exclu, et entre 1 plus l'infini, 1 exclu, ça correspond à la réponse A. Et donc voilà pour cet exercice.

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