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Cet exercice de bac sur les probabilités consiste en deux parties. Dans la première partie, il faut calculer des probabilités en utilisant des intersections, des arbres de probabilités, des probabilités conditionnelles, et parfois des probabilités d'indépendance. Dans la deuxième partie, on étudie des variables aléatoires qui suivent généralement une loi normale. On cherche par exemple l'espérance ou à partir de quel valeur la probabilité est supérieure à 0,99. 

Dans cet exercice, on nous parle d'une maladie appelée l'erlichiose chez les coyotes de l'état de l'Oklahoma aux États-Unis. On nous donne des informations sur un test qui permet de détecter cette maladie. La probabilité qu'un coyote soit malade est de 70% et si le coyote est malade, le test est positif dans 97% des cas. Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas. On nous demande de calculer différentes probabilités et de déterminer la valeur prédictive positive et négative du test. 

Dans la deuxième partie de l'exercice, on nous parle de l'échantillon de 5 coyotes capturés au hasard. On associe à chaque coyote le nombre de tests positifs. On utilise la loi binomiale pour calculer la probabilité qu'un seul coyote ait un test positif dans cet échantillon. On nous demande ensuite de calculer la probabilité qu'au moins 4 coyotes sur 5 aient un test positif et de déterminer combien de coyotes doivent être

Salut, bienvenue dans cet exercice de bac sur les probabilités. Cet exercice est composé en deux parties. C'est un grand classique pour les probas. La première partie, c'est de calculer des probabilités à l'aide d'intersections, un arbre de probas, probabilités conditionnelles très souvent, aussi indépendance, ça arrive. Et dans la deuxième partie, la plupart du temps, on nous parle de variables aléatoires qui vont suivre une loi normale. Et ensuite, des fois on nous demande l'espérance, des fois on nous demande de trouver le n à partir de combien la probabilité sera supérieure à 0,99, ça c'est un grand classique. Donc, on est parti. Donc ce contexte, on a le coyote. On nous dit que dans l'état de l'Oklahoma aux Etats-Unis, il y a 70% des coyotes qui ont une maladie qu'on appelle l'erlichiose. Il y a un test pour détecter la maladie. Lorsqu'on l'applique à un coyote, le résultat est soit positif, soit négatif. Et on sait que si le coyote est malade, le test est positif dans 97% des cas. S'il n'est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas. Donc M, c'est le coyote est malade. T, c'est le test du coyote est positif. Alors, on nous demande de recopier l'arbre pondéré ci-dessous. Donc voilà, c'est ici. Donc là, c'est ce qu'on nous dit. Il y a 70% de coyotes malades, donc 0,7. Si le test, s'il est malade et que le test est... Pardon, non, c'était quoi l'info qui nous donne ça ? Si le coyote est malade, le test est positif dans 97% des cas. Et s'il n'est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas. Donc s'il n'est pas malade, c'est là, dans 95% des cas, le test est négatif. Et s'il est malade, on est positif dans 97% des cas. Donc 0,97 en termes de probas. Alors, maintenant, on nous dit déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif. Donc là, c'est ce que j'ai écrit là. La probabilité qu'on cherche, c'est M inter T. Et M inter T, on la trouve dans cette branche de l'arbre de probabilité. C'est-à-dire qu'on veut qu'il soit malade et test positif. Donc pour trouver ça, on va multiplier les deux probabilités. On va plutôt utiliser la formule pour être un peu plus rigoureux. En pratique, on multiplie les deux probabilités. Au bac, on essaie de rédiger un peu. On écrit que M inter T, c'est 0,7 fois 0,97. Et donc ça nous fait 0,679. Ensuite, on nous dit démontrer que la probabilité de T s'est égale à 0,694. Donc là, on utilise la formule des probabilités totales qui nous dit que la probabilité de T c'est la probabilité de T sachant M fois P de M plus la probabilité de T sachant M bar fois P de M bar. Alors on n'oublie pas que cette probabilité-là, c'est la probabilité de T sachant M bar et cette probabilité-là, c'est la probabilité de T sachant M. On remplace P de M, P de M bar, P de T sachant M bar et P de T sachant M par leurs valeurs. On fait le calcul et on retrouve bien 0,694. Ensuite, on nous dit, on appelle valeur prédictive positive du test la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Là, ça doit être un automatisme. Sachant que son test est positif, sachant T. D'accord, ça c'est quelque chose. Quand vous voyez un sachant dans un énoncé, sachant l'événement associé, on ne sait pas encore ce qu'on va en faire, mais on l'a identifié celui-là. On va voir comment on l'utilise. Calculer la valeur prédictive positive du test, on arrondira au millième. Là, ce qu'on cherche, c'est P de M sachant T parce qu'on cherche la probabilité que le coyote soit effectivement malade, donc P de M, mais sachant que son test est positif, donc sachant T. C'est ça qu'on cherche, mais P de M sachant T. On utilise la formule des probabilités conditionnelles, c'est P de M sachant T sur P de T. Ça tombe bien, on nous a demandé de les calculer. On n'a plus qu'à remplacer par leurs valeurs. On le fait à la calculatrice, ça nous fait 0,978 arrondis au millième. Ensuite, on nous dit par analogie avec la question précédente, proposer une définition de valeur prédictive négative du test et calculer cette valeur en arrondissant au millième. Une définition de la valeur prédictive négative du test, ce serait la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif. Parce que là, on voulait savoir, sachant que le test est positif, est-ce qu'il est vraiment malade ou pas ? Là, ce serait plutôt, sachant que son test est négatif, est-ce qu'il n'est vraiment pas malade ou pas ? Ça veut dire qu'on veut P de M sachant T, on fait les mêmes calculs. P de M bar inter T bar. Là, on refait avec l'arbre de probore, multipliant les probabilités des branches. Et P de T bar, c'est 1 moins P de T. C'est 1 moins 0,694. À la calculatrice, arrondis au millième, ça nous fait à peu près 0,931. On nous dit comparer les valeurs prédictives positives et négatives du test. La valeur prédictive positive est plus élevée que la négative. Un résultat positif est plus probant qu'un résultat négatif. Ça veut dire que si le test est positif, on se dit qu'il y a plus de chances d'être positif, alors que si il est négatif, on se dit qu'il est peut-être négatif, mais on en est moins sûr. Voilà, c'est ça qu'on conclut. Ensuite, la partie B. Comme je le disais, on va entamer tout ce qui est variables aléatoires. Dans 99%, voire même plus, ce sera de la loi binomiale. Il faut être à l'aise avec comment justifier qu'une variable aléatoire soit une loi binomiale, etc. C'est parti. On nous dit que x, c'est la variable aléatoire qui a un échantillon de 5 coyotes capturées au hasard. On associe le nombre de coyotes qui ont un test positif. On capture au hasard 5 coyotes. On assimile ce choix à un tirage avec remise. Qui dit tirage avec remise, dit indépendance de chacun des tirages. Quelle est la probabilité suivie par x ? Je le donne en 1000, ce sera une loi binomiale. Maintenant, il reste à le justifier. Un tirage correspond à une épreuve de Bernoulli avec le succès, le test et positif, parce que c'est ça qu'on regarde. La probabilité de ce succès, c'est 0,694. Là, on est dans un schéma de Bernoulli, parce qu'on a une répétition de 5 épreuves identiques de Bernoulli indépendantes, parce qu'on a remise. Donc x suit une loi binomiale de paramètre n égale 5, parce qu'on a 5 tirages, et p égale 0,694, parce que c'est la probabilité du succès d'une épreuve de Bernoulli. Donc on a nos paramètres de la loi binomiale, on a notre n et notre p. Ensuite, on nous dit, calculez la probabilité que dans un échantillon de 5 coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On en dit au centième. Un seul et un test positif, ça veut dire qu'on veut la probabilité que grand x soit égal à 1, parce que grand x compte le nombre de coyotes qui ont un test positif sur 5 coyotes. Du coup, on veut la probabilité que grand x soit égal à 1. Grand x égale à 1, on utilise la formule qu'on connaît sur la loi binomiale, la probabilité de grand x égale k, donc là c'est 1 parmi 5, fois 0,694, donc la probabilité du succès d'une épreuve de Bernoulli, puissance 1, parce qu'on veut que x soit égal à 1, fois la probabilité de l'échec, donc 1 moins la probabilité du succès, puissance 4, qui est égale à 5 moins 1, à la calculatrice, ça nous fait 0,03, quand on arrondit. Ensuite, là c'est un peu plus délicat, c'est toujours la question un peu plus délicate, parce qu'il faut vraiment bien la comprendre et la traduire en termes de probas. Donc là on nous dit, un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur 2 qu'au moins 4 coyotes sur 5 aient un test positif. Alors, il y a plus d'une chance sur 2 qu'au moins 4 coyotes sur 5 aient un test positif. Donc, on est toujours dans le cas de regarder nos 5 coyotes, mais cette fois-ci, on veut que x soit supérieur ou égal à 4. Et il y a un vétérinaire qui nous dit que cette probabilité est plus grande qu'1,5. On va faire le calcul. P de x supérieur ou égal à 4, c'est P de x égale 4 plus P de x égale 5, parce qu'on ne va pas plus loin. Donc, si x est supérieur ou égal à 4, c'est soit 4 soit 5. On fait pareil des calculs pour x égale 5, x égale 4 pour les probabilités. Donc, ça c'est pour x égale 4, ça c'est pour x égale 5. On fait les calculs à la calculatrice. On fait le calcul sans trop arrondir pour le moment. On laisse 4 chiffres après la virgule, par exemple. Et finalement, le résultat, c'est à peu près 0,516. Donc, finalement, il a raison. C'est plus grand qu'1,5 qui est 0,5. Dernière question. Là, c'est le fameux plus grand que 0,99. Encore une fois, il faut essayer de bien comprendre ce qu'on nous demande pour pouvoir répondre à la question. On nous dit que pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Alors, la question qu'on se pose, c'est combien on veut en capturer pour que la probabilité d'en avoir un au moins qui soit positif soit supérieure à 0,99. On veut être quasiment sûr que dans tous les coyotes qu'on a capturés, il y en aura au moins un qui soit positif. Là, ça veut dire qu'on cherche n, qui va être le nombre de coyotes qu'on doit capturer. Dans la question d'avant, on avait capturé 5. Maintenant, on ne sait plus combien il faut en capturer. Donc, n, c'est le nombre de coyotes qu'on doit capturer. Et on veut que la probabilité qu'il y en ait au moins un qui ait un test positif, donc que X soit supérieur à 1, on veut que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,99. Une fois qu'on a posé ça, on va faire des calculs. Et là, il y a du logarithme qui va intervenir. Donc, il faut être un peu à l'aise avec les règles de calcul. Tout simplement, juste les règles de calcul du logarithme et deux petites propriétés. Donc, la probabilité que X soit supérieure ou égale à 1, c'est 1 moins la probabilité que X soit supérieure ou égale à 0. Parce que dire qu'il y en a au moins un qui a un test positif, ça veut dire que c'est tout, sauf qu'il n'y en a aucun. Le contraire de « il y en a au moins un », c'est « il n'y en a aucun ». Donc, c'est 1 moins P de X égale à 0. C'est beaucoup plus facile à calculer. Et P de X égale à 0, c'est cette formule qu'on utilise. Donc, on se retrouve avec 1 moins 0,306 puissance n. L'inconnu, c'est n, elle est en puissance. Il est là, le logarithme, c'est là où il va intervenir. On va faire descendre la puissance grâce aux propriétés du logarithme. On veut que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,99. Donc, ça nous fait 1 moins 0,306 puissance n supérieure ou égale à 0,99. On passe celui-ci de l'autre côté et celui-ci ici. On se retrouve avec 0,01 supérieure ou égale à 0,306 puissance n. On applique le logarithme. Pour passer de là à là, on a appliqué le logarithme, qui est une fonction croissante, donc l'inégalité est conservée. Les propriétés du logarithme disent que le logarithme de ça, il y a le n qui descend devant et on a n log de 0,306 à droite. Là, ce qu'il faut bien comprendre, c'est qu'on va diviser par ça. On veut isoler n, donc on va diviser par log de 0,306. Attention, on est dans une inégalité. C'est très classique dans l'exercice de probas du bac. On est dans une inégalité. On divise par un nombre. Il faut savoir si ce nombre est positif ou négatif, ou même encore pire, est-ce que ce nombre vaut 0 ? Là, log de 1, ça vaut 0. Là, on n'est pas sur 1, mais on est sur un nombre entre 0 et 1. 0,306, c'est entre 0 et 1. Il faut savoir que quand on a un nombre entre 0 et 1 et qu'on en prend son logarithme, on est négatif. Là, on divise par un nombre négatif, donc on va changer le sens de l'inégalité. En changeant le sens de l'inégalité, on se retrouve avec log de 0,01 sur log de 0,306 inférieur ou égal à n. Ce calcul nous donne à peu près 3,89. Donc n, c'est un entier, puisque c'est un nombre de coyotes, on ne va pas prendre un demi-coyote. Donc c'est un nombre de coyotes. N, c'est un entier qui doit être supérieur ou égal à à peu près 3,89. Finalement, il faut capturer au moins 4 coyotes pour que la probabilité d'en avoir au moins un qui ait un test positif soit supérieur ou égal à 0,99. Voilà pour cet exercice sur les probas.

Probabilités - Métropole 2022

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