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Bac Maths

Nouvelle Calédonie 

Cet exercice de mathématiques porte sur les fonctions, les fonctions logarithmes et la convexité. Il comprend des questions sur l'étude des limites, des dérivées, des variations, du théorème des valeurs intermédiaires et de la convexité. La dernière question concerne les positions relatives d'un segment et de la courbe d'une fonction en fonction d'une valeur donnée. L'exercice a été résolu en calculant les limites, les dérivées, en factorisant les expressions, en étudiant les signes et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et les propriétés de la convexité. Une illustration graphique a également été utilisée pour expliquer les positions relatives du segment et de la courbe.

Salut, bienvenue dans cet exercice de bac sur les fonctions, fonctions logarithmes et convexité. Donc c'est un exercice de fonctions on va dire un peu différent des autres parce qu'on a, bon ça c'est très classique, on a de la limite à calculer, de la dérivée, du tableau de variation, du théorème des valeurs intermédiaires, ça c'est assez fréquent dans les exercices de fonctions, de la convexité, pareil c'est très classique. Là où c'est un peu plus différent, c'est la dernière question où on nous parle d'avoir un certain T pour que le segment AM soit au-dessus ou en dessous, donc c'est ça les positions relatives, est-ce que le segment AM est au-dessus ou en dessous de la courbe de f. Donc c'est ça la question qui est un peu différente et on va voir comment on traite ça. Donc c'est parti, on commence, donc on a la fonction x²-6x plus 4 log de x et on va l'étudier. Alors pour la première question on nous demande déterminer la limite en 0 de f de x. Donc f de x c'est un polynôme plus logarithme, donc on la sépare en deux parties. La limite du polynôme en 0, c'est 0 parce que x tend vers 0, celui-là aussi, donc voilà c'est 0, tout se passe bien. La limite en 0 du log c'est moins l'infini, on multiplie par 4, ça reste moins l'infini parce que 4 est positif, donc finalement on a 0 plus moins l'infini, ça nous fait moins l'infini, donc en 0 f de x tend vers moins l'infini. Donc là on a la limite quand x tend vers un nombre réel est égale à plus ou moins l'infini, donc on est dans le cas d'une asymptote verticale, donc c'est la droite d'équation x égale 0 parce qu'on tend vers 0, et donc c'est une asymptote verticale à la courbe de f pour répondre à la question interprétée graphiquement sur l'adulta. Ensuite déterminer limite de f de x quand x tend vers plus l'infini. Donc on peut essayer de le faire, là il faut factoriser directement, mais on peut essayer de le faire vite fait de tête pour voir ce que ça donne, si on fait comme tout à l'heure, si on ne fait pas de transformation, on a plus l'infini, moins l'infini, plus l'infini, c'est une forme indéterminée. Ça ne sert à rien de l'écrire, on voit que c'est une forme indéterminée, on va directement passer sur la transformation, donc ici de la factorisation en plus l'infini. Quand on a une forme indéterminée, on va dire la grande majorité des cas, ça se règle par une factorisation, par le terme de plus grand degré. Ici on fait par x², donc en factorisant ça nous fait 1-6 sur x, plus 4log de x sur x². Alors par croissance comparée, on sait que ça tend vers 0 en plus l'infini. Le logarithme par rapport à n'importe quel polynôme perd en plus l'infini. Donc si on a x² sur ln de x, ça veut dire dans l'autre sens, ça ce serait en plus l'infini, mais là c'est dans l'autre sens, donc le x² va gagner, donc la limite va être 0. L'exponentiel gagne par rapport au polynôme, le logarithme perd par rapport au polynôme. Cette limite tend aussi vers 0, parce qu'on a un nombre sur x en plus l'infini, ça fait 0. Donc finalement, on a dit si on résume celui-là tend vers 0, celui-là tend vers 0, donc la parenthèse ici tend vers 1, x² tend vers plus l'infini, celui-là, il n'y a pas besoin de détailler plus, et voilà, finalement je cache. La limite de f de x, c'est bien plus l'infini en plus l'infini, parce que ça nous fait plus l'infini fois 1, c'est plus l'infini. Ensuite, déterminer la dérivée f' pour x appartenant à 0 plus l'infini. Donc f, c'est une somme de fonctions dérivables sur 0 plus l'infini, puisque les polynômes sont dérivables sur r, mais le logarithme est dérivable sur 0 plus l'infini, donc ça tombe bien, c'est l'intervalle qui nous intéresse, donc on peut dériver sans problème. Donc la dérivée du polynôme nous donne 2x-6, et la dérivée de 4log de x, ça nous fait 4 sur x, donc 4 fois 1 sur x si on veut détailler, mais voilà. On passe tout sous une même fraction, parce que pour étudier, après on nous demande d'étudier le signe, il faut que ce soit factorisé ou du moins sous une même fraction, on met tout sur x, ce qui nous fait 2x²-6x plus 4, le tout sur x. Donc en déduire, étudier le signe de f', finalement, on est sur x, mais x appartient à 0 plus l'infini. Donc f' est le signe du polynôme qui est au-dessus, donc 2x²-6x plus 4, parce que x est positif, donc ne va pas intervenir dans le signe de cette fraction. Donc on va étudier le signe de p, on peut faire, on va dire le cas général, c'est-à-dire faire le delta, s'il y a deux racines, le signe entre les racines c'est le signe contraire de a, etc, le truc classique qu'on sait faire depuis longtemps maintenant. Mais sinon on peut aussi remarquer qu'il y a une racine évidente, 1 c'est une racine évidente, donc parce qu'on a 2x1, ça fait 2-6 plus 4, ça fait 0, donc 1 est une racine évidente, et l'autre vaut 2. Alors pourquoi l'autre vaut 2 et pas 4 ? Parce que ce qu'il faut garder en tête, c'est que le produit des racines multipliées par a nous donne le coefficient qu'on appelle c généralement. Ici ça veut dire qu'on a 2 x 1 x l'autre racine égale 4, donc finalement c'est 2. On vérifie rapidement si on a bien ça, 2 x 4, parce que 2 x 2², 2 x 4 ça fait 8, moins 12 plus 4, ça fait bien 0. Donc on a bien nos deux racines 1 et 2, donc p on peut l'écrire comme ça, alors ne pas oublier dans la factorisation le 2 qui traîne ici, qui correspond au 2 qui est devant le x², donc 2 x x-1 x x-2. On a les deux racines, même règle pour les signes, maintenant qu'on a les racines, on a juste trouvé les racines sans le delta, mais la suite est la même, ça veut dire qu'on met les racines, c'est 0, et on met entre les racines le signe contraire de a, a ici c'est 2, donc le signe contraire c'est moins, et plus à l'extérieur des racines, finalement on en déduit les variations de la fonction qui sont croissante, décroissante, croissante. On met les limites qu'on a calculées, ici on met les valeurs de f de 1, f de 2, qu'on calcule assez rapidement, et voilà pour le tableau de variations. Ensuite, montrer que l'équation f de x égale 0 admet une unique solution dans l'intervalle 4, 5. Là, comme je disais, réflexe dans la tête, théorème des valeurs intermédiaires, et même corollaire du théorème des valeurs intermédiaires à partir du moment où on parle d'une unique solution corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Donc f est continue et strictement croissante sur l'intervalle qui nous intéresse, 4, 5, parce que 4, 5 on est là, donc on est strictement croissant. f de 4, on fait les calculs, on trouve que c'est à peu près moins 2,45. f de 5, on fait les calculs, on trouve que c'est à peu près 7,88, parce qu'il faut que le 0, f de x égale quelque chose, ici c'est 0, il faut qu'il soit entre f de 4 et f de 5. Là, on a du négatif, on a du positif, donc 0, il est bien dans l'intervalle f de 4, f de 5, et donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution, cette fois-ci on l'appelle alpha, donc alpha est dans 4, 5, tel que f de alpha est égal à 0. Ensuite, on admet que pour toute x, donc là on admet la dérivée seconde, on ne nous demande même pas de la calculer, on admet, bon ben voilà, étudier la convexité de la fonction, et on précisera les valeurs des coordonnées éventuelles des points d'inflexion. Donc, point d'inflexion, étudier la convexité, il faut trouver le signe de la dérivée seconde qu'on nous donne très gentiment. Donc là, en dessous de la dérivée seconde, donc au dénominateur, on a x², qui est positif, même strictement positif, parce qu'on est sur 0 plus infini, donc ça ne peut pas valoir 0. Donc, la dérivée seconde est du signe du numérateur, 2x²-4. On pourrait, encore une fois, étudier ce signe du polynôme, tout ça, machin, là on va le factoriser, donc c'est 2x²-2, là on force l'identité remarquable à √-b², donc c'est x²-√2², donc ça fait x-√2 fois x plus √2, donc on a deux racines pour ce polynôme, on a √2 et –√2, sauf qu'on n'oublie pas qu'on est dans les positifs, √2 est positif, mais –√2 n'est pas positif, donc il n'y a que √2 qui nous intéresse. Et maintenant, si on veut trouver le signe, entre les racines, parce que là, on a notre autre racine, si on devait compléter ce tableau, on serait comme ça. Donc là, on serait entre les racines, on aurait le signe moins, à l'extérieur des racines, ici, on aurait un plus et un plus, mais nous, notre tableau, il commence en 0. Donc là, on a notre signe moins toujours, et notre signe plus ici. Finalement, on a ici la dérivée seconde qui est négative, donc f, elle est concave sur 0√2, et elle est convexe sur √2 plus l'infini, parce qu'elle est positive, et l'autre, elle était négative. Et on veut les valeurs exactes des coordonnées éventuelles des points d'inflexion de la courbe. Point d'inflexion, petit rappel, point d'inflexion, c'est quand la dérivée seconde change de signe. Là, on a un changement de signe de la dérivée seconde, donc on va regarder les coordonnées de ce point d'inflexion, on sait que la 6, ce sera √2, donc l'ordonnée, ce sera f√2, donc voilà, on calcule, et après calcul, on trouve que c'est 2-6√2 plus 2√2, on laisse comme ça, on ne donne pas de valeur approximative, parce qu'on nous demande les valeurs exactes. Si on commence à voir que ça fait à peu près quelque chose, ça ne nous intéresse pas, parce qu'on veut la valeur exacte, donc on est obligé de laisser comme ça. Donc finalement, le point de coordonnée √2 en abscisse est 2-6√2 plus 2√2, c'est un point d'inflexion de la courbe de f. Et ensuite, la question B, comme je disais, la question qui change un peu de ce qu'on trouve d'habitude dans un exode back. Donc on note A, le point de coordonnée √2 f√2, donc le point d'inflexion, et T, c'est un réel strictement positif, différent de √2, tel que M soit le point de coordonnée T f de T. Voilà, M, il a pour abscisse T. En fait, c'est ça qu'on nous dit. En utilisant la question 4A, indiquer selon la valeur de T les positions relatives du segment AM et de la courbe CF. Donc, ce qu'il faut savoir, c'est que si le T est là, donc entre 0 et √2, on va être dans la partie concave, et si le T est là, on est dans la partie convexe. Et le point A, c'est le point d'inflexion, et donc le point M, pardon, le segment AM, ce sera une corde entre M et A. Donc on a concave puis convexe, donc si on fait un petit schéma, ce serait quelque chose comme ça à peu près, et ici on aurait notre point A. Donc si le point M, il est avant, on est dans la partie concave, donc ça veut dire le segment AM qu'on nous donne ici, va être en dessous de la courbe, parce qu'on a la partie concave. Et si le point M, il se retrouve ici, on est dans la partie convexe, donc la corde, le segment AM, la corde AM, est au-dessus de la courbe. Donc ça, c'est la partie un peu qu'est-ce qui se passe. Maintenant, on a juste à l'écrire. Donc si T, il appartient à 0,2, comme je disais, AM, c'est une corde de la courbe d'une fonction concave, parce qu'on est concave entre 0 et racine de 2, donc la courbe est au-dessus de la corde AM, du segment AM. Et dans l'autre sens, si T, il appartient à racine de 2 plus infini, AM, c'est une corde de la courbe d'une fonction convexe, donc AM est au-dessus de la courbe de F. Et donc voilà pour cet exercice.

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