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Bac Maths

Nouvelle Calédonie 

Dans cet exercice de mathématiques sur les suites fonctions, nous étudions la fonction exponentielle avec une suite définie par récurrence. Nous commençons par calculer u1 et u2, puis nous démontrons que f'(x) = x² exponentielle de x fois x plus 3. Nous justifions le tableau de variation de f et démontrons par récurrence que pour tout antinaturel, moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Ensuite, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée, ce qui implique qu'elle converge vers un réel inférieur ou égal à 0. Nous admettons qu'il existe une unique solution de l'équation f de x égale x strictement supérieure à 1,5, puis nous trouvons que cette solution est égale à 0, ce qui conclut l'exercice.

Salut, bienvenue dans cet exercice de bac sur les suites fonctions, et en particulier la fonction exponentielle. On nous donne une fonction f, x³ xx, et on va faire des trucs classiques de fonction, on va l'étudier, on va voir ses variations, mais on va introduire aussi une suite définie par récurrence par un plus un égale f de un avec zéro égale moins un. Donc voilà, ce qu'on va faire, c'est qu'on va étudier, pour commencer ici, la fonction avec ses variations, tout ça. On va avoir une petite récurrence à faire, classique dans un exode suite, et on va finalement trouver la limite de la suite qui va correspondre au point fixe de la fonction. Donc on va voir un peu ce qu'il en est. Pour commencer, on nous demande de calculer u1 puis u2. C'est parti. u1, c'est f de u0, f de u0, u0 c'est moins un, on a juste à calculer, ça fait moins un puissance trois exponentielle de moins un, ça fait juste moins exponentielle de moins un, exponentielle de moins un, c'est un sur e, donc ça fait moins un sur e, ce qui fait à peu près moins 0,368. u2, c'est f de u1, donc c'est moins un sur e puissance trois, fois exponentielle de moins un sur e, donc pareil, après arrondi, on trouve moins 0,034. Ensuite, on considère la fonction func, écrit en langage Python ci-dessous, là. On nous rappelle ce que c'est que la fonction range, alors attention, on ne nous le rappelle pas tout le temps, la fonction range, on l'utilise souvent dans les exodes quand il y a du Python qui intervient, mais là, coup de chance, on nous rappelle ce que ça veut dire cette fonction, on ne nous le rappelle pas tout le temps. Donc la fonction range, quand on dit i in range n, ça veut dire que i varie de 0 à n moins un, ça veut dire qu'on commence à 0 et on fait n itérations. Le n ne veut pas dire qu'on s'arrête à n, ça veut dire qu'on fait n itérations et qu'on commence à 0. Donc le fait d'avoir func 2, ça veut dire que i va valoir 0 et 1, donc on va faire deux itérations. Maintenant, on va voir, on fait deux itérations de quoi? Donc u, il commence à moins 1, comme par hasard, comme u0. Et à chaque itération, on calcule, on donne une nouvelle valeur à u qui vaut u puissance 3 exponentielle de u, on sait exactement f de u. Là, ce qu'on fait, c'est qu'on calcule les termes suivants de la suite. Donc u vaut u0, mais on va faire deux itérations. À la première itération, le u vaudra u1. À la deuxième itération, le u vaudra u2. Donc func 2, c'est u2. Et donc c'est à peu près moins 0,034. Ensuite, question 2, petit a. On nous dit, démontrez que pour tout x réel, on a f' de x égale x² exponentiel de x fois x plus 3. Bon, c'est faire une dérivée d'une fonction polynome exponentielle. f, elle est dérivable sur r comme un produit de fonction dérivable. Polynome, c'est dérivable, exponentielle, c'est dérivable, il n'y a aucun souci avec... Donc là, comme je disais, c'est un produit. Donc on utilise la formule qu'on a u fois v. La formule, c'est u'v plus uv'. Donc là, la dérivée, c'est 2x³, c'est 3x² exponentielle, plus le polynome et la dérivée d'exponentielle, qui est quand même elle-même. On factorise par exponentielle. On se retrouve avec 3x² plus x³ dans la parenthèse. On peut encore factoriser, on voit par x². Donc on a x² exponentielle de... Pardon, x³ plus x. C'est exactement ce qu'on nous demandait de trouver. Bon, voilà. Ensuite, pour la question B, justifiez que le tableau de variation de f, c'est celui-là. Bon, là, il faut le faire. Donc x² exponentielle de x est positif, x², c'est un carré, c'est positif, exponentielle, strictement positif, donc le produit des deux sera positif, il n'y a pas de souci. Donc f', c'est du signe de 3 plus x, qui est une fonction affine. Une fonction affine, coefficient directeur ici, c'est 1, positif, donc elle sera négative, 0, positive, s à nul en moins 3. Donc on a ce tableau de signe pour f, donc on a finalement décroissant, puis croissant... Pardon, ce tableau de signe pour f', excusez-moi, et ce tableau de variation pour f, donc décroissant, puis croissant. On met les limites, donc celle-ci, c'est en plus l'infini, donc x³ exponentielle de x, en plus l'infini, ça fait plus l'infini, en moins l'infini, ça c'est la croissance comparée, c'est l'exponentielle qui l'emporte, ça fait 0, et en moins 3, c'est f²-3. F²-3, on calcule, ça fait moins 27 exponentielle de moins 3. Donc, finalement, on a bien ce tableau de variation. On nous demande à la fin de démontrer par récurrence qu'on a pour tout antinaturel, moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Bon, voilà, il faut faire une récurrence, très classique dans un exode suite. Donc, on va montrer la propriété qui dépend de n suivante, donc voilà, comme on vient de le dire, on va montrer que p0 est vrai, propriété au rang 0. u0, c'est moins 1, u1, c'est à peu près moins 0,368, donc on a bien l'inégalité suivante, donc moins 1, inférieur ou égal à u0, inférieur ou égal à u1, inférieur, même strict ici, à 0. Donc p0 est vrai. L'hérédité, maintenant, c'est toujours la partie un peu plus difficile dans les récurrences, donc on suppose qu'il existe n appartenant à N, tel que p2n est vrai, ça veut dire qu'on a cette inégalité-là qu'on vient de supposer. Montrons alors que p2n plus 1 est vrai, ça veut dire que moins 1, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à un plus 2, inférieur ou égal à 0. D'après l'hypothèse de récurrence, donc là, on utilise directement l'hypothèse de récurrence, on voit que moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Là, on veut faire apparaître un plus 1, un plus 2. On a un, on a un plus 1, pour faire apparaître un plus 1, un plus 2, on utilise la fonction f, on applique f qui est croissante sur moins 1, 0, parce que là, il faut faire attention, f, ses variations ne sont pas constantes, parce qu'on a des croissants, puis croissants. Et là, on voit qu'on est entre moins 1 et 0. Entre moins 1 et 0, on est là, dans le tableau de variation. On est là, et donc on est croissant, enfin f est croissante sur cet intervalle. Donc f est croissante sur cet intervalle. En appliquant la fonction, on ne change pas le sens de l'inégalité, donc on a f de moins 1, inférieur ou égal à f de un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à f de 0. f de moins 1, ça fait u1, f de un, ça fait un plus 1, f de un plus 1, ça fait un plus 2, ça, c'est 0, mais u1, c'est bien supérieur à moins 1, comme on l'a vu, donc on a bien que pn plus 1 est vrai, parce que si on oublie celui-ci, qui est juste une étape, on a bien l'inégalité recherchée. Donc finalement, la proposition est vraie pour n égale à 0, et elle est héréditaire, donc elle est vraie tout le temps, pour tout n appartenant à grand N. Ensuite, question D, en déduire que un est convergente. Bon, là, si on regarde, alors elle est où? Si on regarde cette inégalité-là, on a un inférieur ou égal à un plus 1, donc ça, ça nous dit que un est croissante, inférieur ou égal à 0, donc elle est croissante et majorée. Une suite croissante majorée converge, elle est croissante et majorée par 0, donc elle converge vers un réel, on l'appelle petit l, parce qu'on l'appellera l après, donc autant l'appeler tout de suite, et la seule info qu'on ait sur ce l, c'est qu'il est inférieur ou égal à 0. Une erreur serait de dire que l est égale à 0, parce qu'elle est majorée par 0. Ça, bon, ce sera peut-être vrai, on verra, mais ce n'est pas une information qu'on a. La seule information qu'on ait quand elle est croissante et majorée par 0, c'est que la limite existe et qu'elle est, elle aussi, majorée par 0. Donc on a l inférieur ou égal à 0. Ensuite, on note l, la limite, c'est déjà fait. On rappelle que l est solution de l'équation f de x égale x, parce qu'on a un plus 1 égale f de un, les deux, en passant la limite, on a l égale f de l. Donc déterminer l, pour cela on admettra que l'équation, celle-ci, possède une unique solution dans R, et qu'elle est strictement supérieure à 1. Pour l'instant, on ne sait pas trop d'où ça sort ce résultat, on va voir si on peut l'utiliser à un moment. Donc on va résoudre f de x égale x, et on va trouver l comme ça. Donc f de x égale x, ça fait x 3 exponentielle de x égale x, on passe le x de l'autre côté, ça nous fait x facteur de x carré. Alors, au passage, j'en profite, parce que pourquoi j'ai passé le x de l'autre côté en faisant moins x et pas en divisant? Si je divise par x, il faut que je fasse attention à ne pas diviser par 0. Mais là, on voit que 0 va m'intéresser, ça va être une possible solution. Donc si je veux diviser par x et me retrouver avec juste du x carré ici, il faut que je dise, attention, x est différent de 0. Pourquoi il sera différent de 0? x peut être égal à 0. Donc je vais m'en occuper en le passant de l'autre côté en faisant moins x ici. Ensuite, je factorise par x, ça me fait x carré exponentielle de x moins 1. Donc là, j'ai un produit de facteur nul, ça, on commence à savoir faire maintenant. Donc soit celui-là est égal à 0, x est égal à 0, soit celui-là est égal à 0, mais on retrouve exactement ce qu'on nous avait dit. Donc cette équation est égale à 0, elle met une unique solution qui est supérieure à 1,5. Donc soit l est cette solution, soit l, c'est la solution de cette équation. Donc soit l est égal à 0, soit l, c'est ça. Mais la seule information qu'on a sur l, c'est qu'il est inférieur ou égal à 0. Comme la même majoration que la suite un. Donc l ne peut pas être solution de cette équation-là parce que la seule solution est plus grande que 1,5. Donc finalement, l vaut forcément 0. Et donc voilà ce qui conclut cet exercice.

Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

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