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Dans cet exercice de BAC, nous devons étudier les exponentielles et les suites. Nous commençons par trouver les limites de la fonction h(x) = e^x - x. On détermine les limites lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. En utilisant la méthode de factorisation, nous trouvons que la limite de h en plus l'infini est plus l'infini et la limite de h en moins l'infini est plus l'infini. Ensuite, nous analysons les variations de h en utilisant sa dérivée. Nous trouvons que h est décroissante pour x négatif et croissante pour x positif. Nous dressons un tableau de variations en utilisant les limites trouvées précédemment. 

Ensuite, nous étudions la fonction f(x) = e^x et trouvons son équation de tangente au point d'abscisse 0. En utilisant la dérivée de f, nous trouvons que la tangente a pour équation y = x + 1.

Ensuite, nous introduisons la suite un = e^(1/n) - 1/n - 1 et déterminons sa limite lorsque n tend vers plus l'infini. En utilisant les propriétés des limites, nous trouvons que la limite de un est 0.

Enfin, nous démontrons que pour tout entier naturel non nul n, un+1 - un = h(1/(n+1)) - h(1/n). En utilisant les résultats précédents sur les variations de h, nous trouvons que la suite un est décroissante.

En utilisant un tableau de valeurs, nous trouvons la plus petite valeur de n pour laquelle l'écart entre la tangente et la courbe de f est inférieur à 0,01. En lisant dans le tableau, nous trouvons que n = 8 est la valeur recherchée.

Salut, bienvenue dans cette correction d'exercice de BAC. Cet exercice porte sur les exponentiels et les suites. La partie exponentielle est assez classique, c'est de l'étude de fonctions. Il y a des limites en plus l'infini, moins l'infini. Des fois, il y aura des limites en zéro ou en un certain nombre. Faire un tableau de variation. Montrer des inégalités, cela dépendra de chaque exo. On aura aussi une équation de tangente à trouver. Il y aura de la limite de suite assez classique. Et trouver des variations de suite. Ce sont des trucs qu'il faut savoir faire pour le BAC. C'est parti. On nous donne la fonction h de x. C'est l'exponentielle de x moins x. Déterminer les limites de h en moins l'infini plus l'infini. On va tester, avec un peu de chance, il n'y a pas besoin de faire de simplification. En plus l'infini, on teste. Limite de x, c'est plus l'infini. Limite de x, c'est plus l'infini. On se retrouve avec du plus l'infini moins plus l'infini. C'est une forme déterminée. La méthode pour faire cela, en plus l'infini. Quand on a une forme déterminée en plus l'infini, la méthode, c'est de factoriser. Pour ensuite, s'il faut, là ce n'est pas une fraction. Mais si on a une fraction, on factorise, on simplifie par le terme de plus grand degré à chaque fois. Donc on factorise par e de x. On aurait pu factoriser par x, le résultat aurait été un peu différent. Enfin, on aurait eu la même conclusion avec la même méthode, ce n'est juste pas les mêmes valeurs ici. Donc on factorise par e de x, et on se retrouve avec 1 moins x sur e de x. Ce qu'il faut savoir, c'est qu'on a la croissance comparée entre e de x et n'importe quel polynôme, ici c'est x. Il faut connaître ces limites-là. Donc en plus l'infini, x sur e de x, cela tend vers 0. Et si on a la fraction dans l'autre sens, e de x sur x en plus l'infini, cela tend vers plus l'infini. Donc il faut connaître ces limites-là pour pouvoir les utiliser dans des exercices de limites. Donc on sait que cela tend vers 0. e de x tend vers plus l'infini. 1 moins x sur e de x, cela va tendre vers 1. Donc là on va se retrouver avec plus l'infini fois 1, cela c'est plus l'infini. Donc finalement la limite de e de x moins x, c'est plus l'infini. Et il fallait aussi en moins l'infini, là on teste encore. En moins l'infini, e de x tend vers 0. Et en moins l'infini, x tend vers moins l'infini. Donc quand on fait e de x moins x, cela fait 0 moins moins l'infini, donc plus l'infini. Ensuite, on nous dit étudier les variations de H et dresser son tableau de variations. Étudier les variations d'une fonction, on commence à savoir faire, on dérive, on étudie le signe de la dérivée. La dérivée, c'est e de x moins 1, parce que la e de x, on dérive, cela fait elle-même exponentielle. x, cela fait 1, donc moins x, cela fait moins 1, tout simplement. Donc là, on regarde quand est-ce que cela, c'est positif. La dérivée, elle est positive, cela équivaut à e de x supérieur ou égal à 1, donc e de x supérieur ou égal à e de 0. Là, on a une inégalité d'exponentielle, donc x et 0, on les compare, donc cela veut dire que x est supérieur ou égal à 0. Donc la dérivée est positive si et seulement si x est positif, et elle est négative si et seulement si x est négatif. On a le tableau de signes qu'on prolonge en tableau de variation par la suite. La dérivée, on a dit négative puis positive, donc la fonction est décroissante puis croissante. On met les limites qu'on a trouvées. D'ailleurs ici, c'est un plus l'infini. On met les limites qu'on a trouvées, et en 0, cela fait 1. H de 0, cela fait e de 0 moins 0, e de 0, c'est 1, moins 0, cela fait juste 1. Ensuite, si a et b sont deux réels avec tous les deux positifs, mais a est plus petit que b, il faut en déduire que h de a moins h de b est négatif. Donc on prend deux réels, a et b, positif, comme on nous le dit. Sur la partie positive, h est croissante. Étant donné qu'elle est croissante, quand on applique h dans une inégalité, on ne change pas le sens de l'inégalité. Donc là, on applique h à cette inégalité-là, on a h de a strictement plus petit que h de b. Finalement, en passant h de b de l'autre côté, on a bien que h de a moins h de b est strictement négatif. Maintenant, on va voir la partie b. On nous donne une nouvelle fonction, f de x égale exponentielle de x. On a sa courbe dans un repère, déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0. Donc rappel, je me pousse, la tangente t à cf au point d'abscisse a, a pour équation, y égale f' de a fois x moins a plus f de a. Là, on a besoin de f' de 0 et de f de 0 pour calculer ça. F' de x, c'est exponentielle de x, exponentielle c'est sa propre dérivée, ça il faut le savoir. Donc f' de 0, c'est 1, f de 0, c'est 1 aussi. On n'a plus qu'à remplacer. Donc y, c'est y égale f' de 0 fois x moins 0 plus f de 0. On remplace tout ça, ça nous fait juste y égale x plus 1. Donc voilà pour l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0. Ensuite, on nous parle maintenant, on introduit la suite un comme étant exponentielle de 1 sur n, moins 1 sur n, moins 1. On nous demande de déterminer la limite de la suite un. Alors, on ne nous précise pas en plus infini, moins l'infini, parce qu'une suite n'a une limite qu'en plus l'infini, que quand n tend vers plus l'infini, parce que n c'est un nombre entier, il ne va pas tendre vers un nombre, et il ne va pas tendre non plus vers moins l'infini. Donc n tend vers plus l'infini uniquement. Donc il n'y a pas d'ambiguïté. Alors la limite de exponentielle de 1 sur n, c'est exponentielle de 0, parce que 1 sur n tend vers 0 quand n tend vers plus l'infini. Donc exponentielle de 1 sur n tend vers l'exponentielle, pardon, oui, c'est tend vers l'exponentielle de 0, par continuité de l'exponentielle. Et donc ça fait 1. La limite de 1 sur n, on a dit, c'est 0. Donc la limite de un, pardon, c'est 1 moins 0 moins 1, c'est 0. Ensuite, on nous dit, démontrer que pour tout entier naturel non nul n, on a un plus 1 moins un est égal à h de 1 sur n plus 1 moins h de 1 sur n. Et h, c'est la fonction qu'on avait dans la partie a. On voit ce que ça donne. On écrit un plus 1 moins un, donc c'est exponentielle de 1 sur n plus 1, moins 1 sur n plus 1, moins 1. Ça c'est un plus 1. Et ça, c'est un, d'accord ? On recopie. On développe, alors il y a les moins 1 qui vont se simplifier, d'accord ? Parce qu'on va avoir moins 1, moins moins 1, ça fait moins 1 plus 1, il se simplifie. Et donc on a ça. Alors là, on ne le développe pas volontairement parce qu'on aimerait reconnaître du moins h de 1 sur n. Donc là, on reconnaît que c'est h de 1 sur n plus 1. Et là, on reconnaît que c'est h de 1 sur n. Donc on a bien que c'est h de 1 sur n plus 1, moins h de 1 sur n. Et ensuite, en déduire le sens de variation de la suite un. Donc, pour ça, en déduire, ça veut dire qu'il faut utiliser la question juste avant, donc celle qu'on vient de faire, on vient de trouver une autre expression pour un plus 1 moins un. On l'utilise en h. Pour trouver les variations, du coup, on va utiliser ça. Parce que pour trouver les variations, soit on fait un plus 1 moins un, soit on fait un plus 1 sur un. Si on nous a demandé un plus 1 moins un, c'est qu'il faut l'utiliser. Donc, rappel qui devrait être acquis maintenant. Une suite, elle est croissante, si et seulement si un plus 1 moins un est positif. Et elle est décroissante si et seulement si un plus 1 moins un est négatif. Bon, du coup, il faut étudier le signe de un plus 1 moins un. Donc, étant donné qu'un sur n est plus petit... Pardon, un sur n plus 1 est plus petit qu'un sur n, on utilise ce qu'on avait avec la question 3, avec notre 0 strictement plus petit que a, strictement plus petit que b. Mais cette fois-ci, donc ça, ce sera notre a, et ça, ce sera notre b. Voilà, on a montré que h de a moins h de b était négatif. Donc ici, c'est h de a moins h de b, mais le a, c'est un sur n plus 1, et le b, c'est un sur n. Donc, comme on a h de 1 sur n plus 1 moins h de 1 sur n strictement positif, en fait, c'est exactement un plus 1 moins un qui est négatif. Donc un, elle est décroissante. Ensuite, on nous demande... Enfin, on nous dit, on a le tableau de valeur, pardon, qui donne les valeurs approchées à 10 moins 9 des premiers termes de la suite. Il faut donner la plus petite valeur de l'entier naturel pour laquelle l'écart entre t et la courbe de f semble être inférieur à 10 moins 2. Comment utiliser ce tableau ? Là, c'est les valeurs des premiers termes de la suite un. Bon, si on regarde la suite un, en fait, ça nous donne à chaque fois l'écart entre la tangente et la courbe de f au point d'abscisse un sur n. Parce que quand on regarde, si on compare, voilà. Ça, c'est une autre façon de décrire, si on veut, c'est exponentiel de x, donc ça, c'est la fonction f, moins x plus 1 avec x égale un sur n. Donc ça, c'est la différence entre exponentiel et x plus 1, qui est l'équation de cette tangente, évaluée en un sur n. Donc au point d'abscisse un sur, enfin, si, évaluée en un sur n. Donc cet écart est mesuré à chaque fois au point d'abscisse un sur n. Donc il n'y a plus qu'à lire dans le tableau quand est-ce que cet écart est plus petit que 10 moins 2. Donc là, on voit que ici, 10 moins 2, c'est 0,01. Ici, on est au-dessus de 0,01. Ici, pour n égale 8, on est en dessous. Donc d'après le tableau, on lit que n égale 8, c'est la plus petite valeur telle que un est strictement plus petit que 0,01. Donc l'écart sera plus petit que 0,01. Donc voilà pour cet exercice.

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