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Bac Maths

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Dans cet exercice, nous abordons les notions de probabilités et de variables aléatoires. Nous sommes dans le contexte de la fabrication de paires de lunettes et nous avons deux traitements possibles, T1 et T2. Nous devons calculer différentes probabilités, notamment en utilisant les probabilités conditionnelles et la loi binomiale.

Nous commençons par remplir un tableau en utilisant les probabilités données dans l'énoncé. Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'union des événements.

Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'intersection des événements.

Nous vérifions ensuite si les événements A et B sont indépendants en utilisant la formule des probabilités conditionnelles.

Nous calculons ensuite la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements, en utilisant la formule de l'union des événements moins la probabilité de l'intersection.

Nous calculons également la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1 en utilisant la formule des probabilités conditionnelles.

Ensuite, nous passons à la partie B de l'exercice, où nous considérons un échantillon de 50 paires de verres prélevées au hasard dans la production. Nous introduisons la variable aléatoire X, qui compte le nombre de paires de verres présentant le défaut pour le traitement T1 dans cet échantillon.

Nous montrons que X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,1.

En utilisant la formule de la probabilité d'une loi binomiale, nous calculons la probabilité d'avoir exactement 10 paires de verres présentant ce défaut dans l'échantillon.

Nous calculons également l'espérance de la variable aléatoire X, qui donne en moyenne le nombre de paires de verres dans un échantillon de 50 avec ce défaut.

Cela conclut l'exercice sur les probabilités.

Salut, bienvenue dans cet exercice type back sur les probabilités. Un exercice de proba au back, c'est presque tout le temps la même structure. On nous dénonce une situation, on a des probabilités à calculer souvent en utilisant les probabilités conditionnelles, un peu d'indépendance, l'intersection, etc. Formule des probabilités totales revient aussi très souvent. Là, on nous parle d'indépendance, on devrait utiliser de l'indépendance. On a aussi la probabilité conditionnelle avec le sachant, et la partie B, la plupart du temps, ça fait intervenir une variable aléatoire qui suivra la loi binomiale. Donc typiquement, les variables aléatoires suivent une loi binomiale, on est en plein dedans. Et du coup, on demandera des fois l'espérance, des fois la probabilité qu'un certain truc soit inférieur à 0,99, ça, ça dépend un peu. Mais globalement, il y a de la variable aléatoire avec la loi binomiale, et il y a des probabilités conditionnelles, de temps en temps de l'indépendance, probabilité de l'intersection, etc, donner une loi de probabilité. Donc voilà, ça, c'est toutes les choses qu'il faut savoir faire. Donc... Où est-ce qu'on en est ? Voilà, donc on nous dit, le contexte, c'est qu'on fabrique des paires de lunettes, et il y a deux traitements, le traitement 1 et le traitement 2. On prend une paire de verres dans la production, A, c'est l'événement, la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1, et B, c'est pour le traitement T2. A barre, B barre, c'est l'événement contraire, on ne sait pas pourquoi on nous le dit, on devrait le savoir. Donc ensuite, la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1, c'est P de A, l'autre c'est P de B, et à chaque fois, voilà, P de A, c'est 0,1, P de B, c'est 0,2. Et ça, c'est l'information importante, la probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun des deux défauts, c'est 0,75, et ça, on va s'en servir. Donc, pour remplir le tableau, ce qu'on nous donne dans l'énoncé, c'est ce que j'ai mis en rouge. Probabilité de A, c'est 0,1, probabilité de B, c'est 0,2, et la probabilité qu'aucune des deux ne présente un défaut, comment c'est formulé, pardon, la probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun des deux défauts, c'est plutôt comme ça qu'il faut le formuler, c'est ici, parce que c'est la probabilité d'avoir à la fois A bar et B bar. A bar, il n'y a pas le défaut, défaut A, et B bar, il n'y a pas le défaut B. Donc, aucun des deux défauts, c'est A bar, inter, B bar, et donc on est dans cette case-là. Donc normalement, l'énoncé nous donne, enfin pas normalement, l'énoncé nous donne que les valeurs en rouge. Maintenant, comment faire pour avoir le reste ? En fait, ce qu'il faut se dire, c'est qu'à chaque fois, on doit avoir la somme, donc cette somme-là, qui doit faire le total ici, et pareil pour les lignes, on doit avoir la somme des deux qui doit faire ce total-là. Donc là, par quelle somme on peut commencer ? Tout simplement, le 0.9, parce qu'on sait que 0.1 plus quelque chose fait 1, quelque chose, c'est 0.9. Maintenant qu'on a 0.9, on sait que quelque chose plus 0.75 fait 0.9, c'est 0.15. Maintenant qu'on a 0.15, on sait que quelque chose ici plus 0.15 fait 0.2, c'est 0.05. On trouve de même 0.05, parce que 0.05 plus quelque chose fait 0.1, c'est 0.05. Et le dernier qui manque, c'est celui-là, on fait 0.05 plus 0.75, ça nous fait 0.8. Voilà comment on remplit le tableau. Ensuite, déterminer en justifiant la réponse la probabilité qu'une paire de verres, prélevées au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements, T1 ou T2. Au moins un des deux, on part sur l'union. Si on voulait les deux en même temps, c'est l'intersection. Au moins un des deux, c'est l'union. Donc là, on cherche P de A union B. Pour rappel, P de A union B, c'est P de A plus P de B moins P de A inter B. P de A inter B, on l'observe ici, c'est 0.05. P de A, on nous le donne. P de B, on nous le donne. Donc là, il n'y a plus qu'à remplacer. P de A union B, c'est 0.1 plus 0.2 moins 0.05, et ça nous fait 0.25. Ensuite, donner la probabilité qu'une paire de verres, prélevées au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2. Voilà, c'est la probabilité d'intersection. Dans le tableau, on lit directement, ici, que c'est 0.05. Ensuite, on nous demande les événements A et B sont-ils indépendants ? Pour savoir si les événements sont indépendants, on utilise le cours, on sait que les événements A et B sont indépendants si et seulement si le produit de leur probabilité s'est égal à la probabilité de l'intersection. Et ça, c'est dans les deux sens. Si on a cette égalité, alors ils sont indépendants. Et s'ils sont indépendants, alors on a cette égalité. Ce qu'on fait, c'est qu'on calcule le produit des probabilités d'un côté. La probabilité de l'intersection, on l'a déjà. Le produit des probabilités, ça fait 0,1 x 0,2, ça fait 0,02. La probabilité de l'intersection, c'est 0,05. Donc, ce n'est pas la même chose. Ils ne sont tout simplement pas indépendants. Ensuite, question d'après, question 3. On nous demande de calculer la probabilité qu'une paire de verres prélevées au hasard dans la production présente un défaut pour un seul des deux traitements. Là, ce qu'on veut, c'est soit l'un, soit l'autre, mais pas les deux en même temps. Donc, soit l'un, soit l'autre, c'est la probabilité de l'union. Les deux en même temps, c'est la probabilité de l'intersection. Donc, ce qu'on cherche, c'est la probabilité de l'union moins la probabilité de l'intersection. Donc, finalement, ça nous fait 0,02. Parce qu'on a déjà 0,25 moins 0,05 qu'on a déjà trouvé. Il n'y a plus qu'à remplacer. Donc, la probabilité qu'une paire de verres présente exactement un seul défaut, c'est 0,2. Ensuite, calculer la probabilité qu'une paire de verres prélevées au hasard dans la production présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1. Sachant que, ça doit faire tilt. On va avoir une probabilité conditionnelle avec un sachant quelque chose. Sachant quoi ? Sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1. Donc, on est en sachant A. Et donc, on cherche la probabilité pour qu'on ait un défaut pour le traitement T2. Donc, c'est P de B. Finalement, on cherche P de B sachant A. Petit rappel, la formule des probabilités conditionnelles, P de B sachant A, c'est P de A inter B sur P de A. On remplace, on a toutes les valeurs. On n'a plus qu'à remplacer et ça nous fait 0,5. Ensuite, partie B. On arrive dans la partie variable aléatoire avec loi binomiale, etc. Donc, on nous dit, on prélève au hasard un échantillon de 50 paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note X, la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, c'est le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1. Donc, pour justifier que ça soit une loi binomiale, il faut donner les paramètres aussi. Il faut dire que chaque tirage, c'est une épreuve de Bernoulli. Ça veut dire que chaque tirage, on a succès ou échec. Donc, ça veut dire qu'il y a le défaut T1 ou pas. Probabilité du succès, donc d'avoir le défaut T1, c'est 0,1. Donc, on garde ce paramètre. Ce sera le paramètre de notre loi binomiale. Ensuite, on effectue 50 fois la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, on nous le dit. Un tirage avec remise, c'est de façon indépendante. Et X compte le nombre de succès total sur ces 50 tirages. Donc, X suit une loi binomiale de paramètre n égale 50, parce qu'on fait 50 fois la même épreuve, et P, qui est la probabilité du succès d'une épreuve de Bernoulli. Ensuite, donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir dans un tel échantillon exactement 10 paires de verres qui présentent ce résultat. Donc, là, ce qu'on cherche, clairement, c'est P de X égale 10. Rappel, si X suit une loi binomiale de paramètre n, P, la probabilité que X soit égale à K, c'est K parmi n fois P puissance K fois 1 moins P puissance n moins K. On n'a plus qu'à remplacer avec notre K qui vaut 10 et notre n qui vaut 50, notre P qui vaut 0,1, notre 1 moins P qui vaut 0,9. On remplace et on trouve 0,015. Donc là, il faut le faire à la calculatrice. Ce n'est pas des calculs qu'on peut faire de tête, loin de là. Il faut le faire à la calculatrice. Il y a une fonction binomiale dans la calculatrice pour avoir le coefficient binomial. Mais voilà, il faut le faire à la calculatrice. Ensuite, on nous dit, en moyenne, ça fait tilt, on parle d'une variable aléatoire, on nous dit, en moyenne, il y a de l'espérance. Ça, c'est des réflexes à avoir. On est sur de la variable aléatoire, on nous dit, en moyenne, il faut tout de suite penser à l'espérance. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ? Comme je disais, moyenne fait penser à espérance. La moyenne du nombre de défauts qu'on peut trouver dans un échantillon, c'est l'espérance de la variable aléatoire X, parce que c'est exactement ce que fait X. Petit rappel, si X, une loi binomiale de paramètres N et P, l'espérance de X, c'est N fois P. Ici, l'espérance de X, c'est 50 fois 0,1, c'est 5. En moyenne, sur un échantillon de 50 paires de verres, il y en a 5 avec ce défaut. Voilà ce qui conclut cet exercice sur les probabilités.

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