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Chimie

Evolution temporelle d'une transformation nucléaire

Aujourd'hui, nous avons analysé une courbe de décroissance radioactive d'un échantillon. Dans cet exercice, nous avons d'abord cherché à déterminer la durée au bout de laquelle 70% des noyaux radioactifs sont désintégrés. En utilisant la loi de décroissance radioactive, nous avons calculé que cette durée était d'environ 10 jours.

Ensuite, nous avons estimé la durée au bout de laquelle il n'y aurait plus de noyaux radioactifs dans l'échantillon. Contrairement à une exponentielle continue, une exponentielle discrète, comme celle-ci, peut atteindre la valeur zéro. Nous avons donc cherché à déterminer à quel instant le dernier noyau se désintégrerait. En utilisant la formule ln(n₀/λ), où n₀ est le nombre initial de noyaux et λ est le paramètre de décroissance radioactive, nous avons calculé que cet instant correspondait à 80 jours.

Enfin, nous avons exprimé cette durée en termes de demi-vie. Comme nous connaissions la demi-vie de l'échantillon (8 jours), nous avons converti les 80 jours en 10 demi-vies.

J'espère que ce résumé vous a été utile. N'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

Salut, c'est Laila pour Studio. Aujourd'hui, on va faire un exercice sur la décroissance radioactive. Donc, ici, c'est un exercice qui porte sur une courbe. La courbe de décroissance radioactive d'un échantillon qui est fournie ici. Et donc, on va chercher à analyser un peu cette courbe pour répondre aux questions qui sont importantes. Donc, la première chose, c'est qu'on nous demande la durée au bout de laquelle 70% des noyaux radioactifs sont désintégrés. Donc, il faut regarder ce qu'elle veut dire pour nous, cette courbe. Donc, si je zoome un peu ici, on a le nombre de noyaux radioactifs. Donc, au début, a priori, on en a 1000. Et c'est combien il en reste. Vous savez très bien, on a vu ensemble qu'une désintégration radioactive, ça suit une loi de vitesse qu'on appelle exponentielle. C'est-à-dire que cette courbe est une exponentielle. Ça ressemble bien à une exponentielle, donc ça nous va. Et donc, je veux regarder au bout de quel moment 60% des noyaux radioactifs sont désintégrés. La première chose, c'est d'essayer de regarder ce qu'il se passe, grosso modo, avec la courbe. Ah mince, là j'ai mis 500. Mais vous voyez, si je regarde ici ce qu'il se passe pour 600, je vais atterrir à peu près là. Je vais être un peu en dessous de 10, vous voyez. Ah non, pardon, excusez-moi, j'ai fait n'importe quoi. Parce qu'en fait, nous, ce qu'on nous demandait, c'est pas 600, c'est 60% des noyaux radioactifs qui sont désintégrés. Donc, ça veut dire qu'il en reste 40%. Donc, je vais être ici, vous voyez. Moi, je vais regarder. Je vais atterrir ici, normalement, donc ma réponse, ça doit être à peu près 10, normal. Alors, allons-y. Je vais utiliser la formule. Donc, N2T, moi je vais regarder à quel moment N2T1, à quel instant, il va m'en rester 40%. Donc, à quel moment j'ai 1000 fois 04 noyaux. Et j'utilise, du coup, la loi de décroissance radioactive. Et donc, toujours la même chose, on exploite cette loi-là. On passe au LN pour pouvoir isoler soit T1, soit lambda, selon ce qu'on veut. Ici, on veut T1. Et du coup, ça ne donne que T1. C'est LN de 5,5 sur lambda. Le problème ici, vous voyez, c'est qu'on ne connaît pas lambda, a priori. On ne nous donne pas lambda dans l'énoncé. Donc, il va falloir passer par la demi-vie. C'est ça, un peu l'astuce ici. C'est qu'on vous dit que le temps de demi-vie, il est de 8 jours. Pourquoi ? Parce que je le vois ici. Là, vous voyez, si je prends le temps de demi-vie, on le voit très bien, on tombe pile sur les tracés de la courbe. Le moment à partir duquel j'ai 50% de l'échantillon qui est désintégré, il est de 8 jours ici. Et donc, j'utilise ensuite la formule que le temps de demi-vie, c'est lambda, c'est LN de 2 sur le temps de demi-vie. Là, comme ça, je vais avoir le paramètre lambda qui est très important pour moi. Je vais pouvoir le réinjecter ici. T1, c'est T1,5 fois LN de 5,5 sur LN de 2. Et tout ça, si je fais l'application numérique, ça nous fait 10 jours. Ça tombe bien, c'est vraiment ce qu'on trouvait sur le graphique au début. Ensuite, on nous demande d'estimer la durée au bout de laquelle il n'y a plus de noyaux radioactifs dans l'échantillon. Ah, vous allez dire oui. Si je regarde cette loi-là, une exponentielle, ça ne vaut jamais zéro, donc c'est une durée infinie. Oui, ce serait vrai si c'était une exponentielle qui était liée à quelque chose de continu comme grandeur. Ici, on a une grandeur qu'on appelle discrète, c'est-à-dire qu'on compte un nombre de noyaux. À partir du moment où cette loi me donne un autre nombre de noyaux qui est inférieur à 1, c'est qu'il n'y en a plus. Même si l'exponentielle, logiquement, devrait continuer d'exister. Parce que nous, on compte des noyaux, on ne compte pas des choses qui sont discontinues, qui vont prendre toutes les valeurs possibles. Donc pour ça, la chose à éviter absolument, c'est qu'il ne faut pas remplacer n par zéro dans la loi exponentielle. Ça ne marchera pas parce qu'une exponentielle, ce n'est jamais nul. Par contre, je vais regarder à quel instant est-ce que mon dernier noyau va se désintégrer. Et ça, ça va me suffire. Donc, est-ce cet instant-là que j'ai appelé t zéro ? J'ai n t zéro qui est égal à 1. Et ça suit toujours cette loi exponentielle, donc c'est aussi n zéro exponentielle de mon lambda t. Donc je vais isoler tout ça. Moi, ce que je cherche, c'est ce t zéro ici. Et je vois que ln de n zéro sur lambda, c'est t zéro. Et voilà, je vais pouvoir passer encore une fois du lambda au temps de demi-vie, parce que c'est ce que je connais et ce que je peux lire avec le graphique. Donc là, je trouve que le dernier noyau va se désintégrer au bout de 10 demi-vie, ce qui fait 80 jours, comme on a une demi-vie de 8 jours. Et la dernière question, c'est d'exprimer ça en termes de demi-vie. Donc on a vu que c'était 10 demi-vie. En fait, c'est assez facile cette question-là, parce que logiquement, quand on fait le calcul de la question précédente, ça s'exprime directement en demi-vie. Et ensuite, on fait le passage en jour. Donc c'est au bout de 10 demi-vie que tous mes noyaux se sont désintégrés. Vous voyez que c'est beaucoup, en fait. C'est le principe du noyau exponentiel. C'est qu'il y a la moitié qui disparaît au bout de 8 jours. Et ensuite, l'autre moitié, elle met 70 jours à disparaître. Vous voyez que c'est le principe. C'est comme ça que ça marche. J'espère que ça vous aura été utile. N'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

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