Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Fonctions (3) : Généralités

Dans cet exercice, nous allons étudier une fonction pour déterminer ses points d'inflexion. 
Une fonction admet un point d'inflexion en x0 si et seulement si la dérivée seconde f'' change de signe en x0. 
Nous allons donc calculer la dérivée seconde de la fonction. On obtient ainsi : f'' = -cos(3x) * cos(x) - cos(2x). 
Pour étudier le signe de cette expression, il est préférable de factoriser. 
En utilisant une formule trigonométrique (cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)), on peut factoriser f'' en -cos(2x) * (2cos(2x) + 1). 
Maintenant que f'' est factorisée, on peut étudier le signe de chaque facteur. 
Pour que -cos(2x) soit positif, cos(2x) doit être négatif, c'est-à-dire quand x est entre pi/4 et 3pi/4. 
Pour que 2cos(2x) + 1 soit positif, cos(2x) doit être supérieur ou égal à -1/2, c'est-à-dire quand x est entre 0 et 2pi/3 ou entre 7pi/3 et 2pi. 
En résumé, les points d'inflexion de la fonction sont de la forme pi/4 + kpi/2 en abscisse et f(pi/4 + kpi/2) en ordonnée, avec k appartenant à Z, ainsi que 2pi/3 + 2kpi et -2pi/3 + 2kpi en abscisse et f(2pi/3 + 2kpi) et f(-2pi/3 + 2kpi) en ordonnée, avec k appartenant à Z.

Salut ! Dans cet exercice, on va étudier une fonction pour déterminer ses points d'inflexion. Alors un petit rappel, parce que sinon on ne peut même pas commencer. On dit que f, elle admet un point d'inflexion en x0. Si et seulement si, f' et pardon, si et seulement si, f'' change de signe en x0. Donc voilà, il n'y a pas dix mille choses à faire. On va calculer la dérivée seconde et on va voir quand est-ce qu'elle change de signe. Donc la dérivée première, c'est moins un tiers signe de 3x, moins un demi signe de 2x, moins signe de x. Et du coup la dérivée seconde, c'est moins cos de 3x, moins cos de 2x, moins cos de x. Alors maintenant, comme ça, étudier le signe d'un truc comme ça, ce n'est absolument pas évident. Ce qu'il faut déjà commencer par faire, c'est factoriser. Alors là, on n'a pas grand chose à factoriser parce qu'il n'y a pas de facteurs communs, il n'y a pas d'identité remarquable. Bon là, apparemment, ça ne saute pas du tout aux yeux la factorisation. Mais on va faire un petit rappel. cos a plus cos b, c'est 2 cos de a plus b sur 2 fois cos de a moins b sur 2. Ça, ça fait partie des formules de Trigo qu'il faut savoir, parce qu'une fois de temps en temps, dans un exo, on en a besoin. Là, c'est cet exo-là, typiquement. Et alors, il faut se demander avec quoi on va appliquer ça. Parce qu'on pourrait l'appliquer avec cos de 3x et cos de 2x, en disant que c'est cos de 3x plus cos de 2x. Mais du coup, quand on fait a plus b sur 2, ça nous ferait 2x plus 3x sur 2, ça nous ferait 5 demi 2x. On ne saurait pas trop quoi en faire. Alors que si on regarde, si on le fait avec ces deux-là, 3x et x, quand on fait a plus b sur 2, donc 3x plus x sur 2, ça nous fait juste 2x. Et quand on fait a moins b sur 2, ça nous fait 2x sur 2, ça fait juste x. Donc en fait, si on fait avec ces deux-là, on va avoir du cos 2x et du cos x qui va sortir. On pourra en faire quelque chose. On va voir où ça nous mène. Donc cos de 3x plus cos de x, c'est 2 cos de 2x cos de x. D'accord ? Donc là, on a juste appliqué la formule. Et bien, on va réinjecter ça dans notre dérive et seconde. Donc finalement, la dérive et seconde, c'est moins 2 cos de 2x fois cos x moins cos de 2x. On va factoriser parce que pour étudier le signe, on veut que ce soit factorisé pour éventuellement faire un tableau de signes. On factorise du coup par cos de 2x, par moins cos de 2x même. Et donc, ça nous fait moins cos de 2x facteur de 2 cos de 2x plus 1. Alors maintenant que f seconde est factorisé, on va étudier le signe de ça et le signe de ça. Alors, petite chose à savoir, vu qu'il y a les deux pi périodiques, on va étudier son signe sur 0 2pi et on généralisera par la suite. Alors, moins cos de 2x est positif, ça équivaut à cos de 2x est négatif. Du coup, ça c'est assez simple. Et donc, cos de 2x est négatif. Donc si on fait un cercle rapidement, le cos, c'est la psyse. Donc négatif, c'est quand on regarde ce truc-là. Donc ce truc-là, c'est quand on est entre pi sur 2 et 3pi sur 2. Donc, c'est quand 2x est entre pi sur 2 et 3pi sur 2. Donc, ça veut dire quand x est entre pi sur 4 et 3pi sur 4. Et ensuite, maintenant, si on étudie le signe de 2 cos de 2x plus 1, donc 2 cos de 2x plus 1 est positif, quand cos de 2x est supérieur ou égal à moins 1,5, d'accord ? On passe ça de l'autre côté, ça fait moins 1, on divise par 2. Alors maintenant, quand est-ce que cos de 2x est supérieur ou égal à moins 1,5 ? Bon ben, on fait un cercle rapide. Donc le cos, c'est la psyse moins 1,5. On remonte, on a 2pi sur 3. On descend, on a 7pi sur 3. On n'oublie pas, on tourne dans le sens direct de l'intrigo. Donc on tourne dans ce sens-là, donc pas de nombre négatif. Donc, ben finalement, le cos de 2x qui est supérieur à moins 1,5, donc c'est toute cette partie-là, donc ça veut dire qu'on est entre 0 et 2pi sur 3, ou, donc union, entre 7pi sur 3 et 2pi. Alors maintenant qu'on a tout ça, ben on va faire rapidement un tableau de signes. Donc on a toutes les valeurs, donc pi sur 4, 3pi sur 4, 2pi sur 3 et 7pi sur 3. Les valeurs pertinentes, on les met là, 0, 2pi bien sûr. Alors maintenant, on rentre le signe qu'on a trouvé en fonction des résultats qu'on a eus. Et finalement, ben la dérivée seconde, son signe, sera négatif, positif, négatif, positif et finalement négatif. Et comme elle est périodique, ben si on continue par là, on revient ici. Donc en fait là, il n'y a pas de changement de signe. Les seuls changements de signes, ça va être ici, ici, ici et ici. Donc c'est tous ces changements de signes-là qui vont nous intéresser. Alors ce qu'on reconnaît, c'est que tout ce qui va concerner le pi sur 4, donc c'est celui-ci, donc c'est lui qui va ordonner un peu le changement de signe. Donc c'est tous les noms qui s'écrivent comme pi sur 4 plus pi sur 2z, donc ça veut dire avec un k qui appartient à z, d'accord, c'est pi sur 4 plus k fois pi sur 2. Et tout ce qui concerne 2pi sur 3, enfin en tout cas en pi sur 3, parce que 7pi sur 3, c'est moins 2pi sur 3, mais là on est entre 0 et 2pi, donc pas de négatif. Donc tout ça, c'est plus ou moins 2pi sur 3 plus 2piz. Alors ben maintenant, il ne reste plus qu'à conclure. On a tout ce qu'il nous faut. Donc l'ensemble des points d'inflexion de f, c'est, donc c'est pi sur 4 plus kpi sur 2 en abscisse et en ordonnée f de pi sur 4 plus kpi sur 2, pour k appartient à z, union, donc maintenant on va dans cela avec le 2pi sur 3 positif, donc 2pi sur 3 plus 2kpi, et en ordonnée f de 2pi sur 3 plus 2kpi, avec k qui appartient à z, et la même chose mais avec moins 2pi sur 3. Donc voilà tous les points d'inflexion, donc il y en a beaucoup, il y en a une infinité bien sûr, parce qu'à chaque fois k décrit z, donc il y en a une infinité. Et voilà comment on trouve les points d'inflexion d'une fonction.

Points d’inflexion

RELATED

Recommended videos

Des inégalités classiques

Inégalité de Bernoulli

Moyennes arithmétique et géométrique