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Fonctions (3) : Généralités

Dans cet exercice, nous devons majorer une fonction de classe C2 par une autre fonction dépendant de M, le sup de la dérivée seconde sur AB. Pour justifier l'existence de M, nous utilisons l'hypothèse que F est de classe C2, ce qui signifie que la dérivée seconde est continue sur AB. Étant donné que la fonction est continue sur un segment, elle est bornée et atteint ses bornes. Par conséquent, le sup existe. On nous présente ensuite les fonctions G et H et on nous demande de montrer que G est convexe et H est concave. Pour cela, nous calculons les dérivées secondes de G et H et en étudions le signe. En utilisant la convexité de G et la concavité de H, nous déduisons une inégalité impliquant la valeur absolue de la dérivée de F. Enfin, nous regroupons les éléments pour obtenir l'inégalité finale de la valeur absolue de F.

Salut ! Dans cet exercice, on va majorer une fonction qui est de classe C2 par une autre fonction, une expression, qui dépend de M qui est le sub de la dérivée seconde sur AB. Alors, on nous dit de justifier l'existence de M, donc du sub de la dérivée seconde. C'est vrai qu'a priori, on ne sait pas forcément que ça existe, parce qu'il pourrait ne pas y avoir de sub. Donc en fait, on sait qu'on va utiliser l'hypothèse que F est de classe C2. Vu qu'elle est de classe C2, la dérivée seconde est continue sur AB. C'est le principe d'une fonction de classe C2, ça veut dire qu'on peut la dériver deux fois et que la dérivée seconde est continue. Et donc, vu qu'elle est continue sur un segment, ça c'est vrai pour n'importe quelle fonction continue sur un segment, la fonction est bornée et elle atteint ses bornes. Et donc, vu qu'elle est bornée et qu'elle atteint ses bornes, le sub, il existe, forcément. Ensuite, on nous donne deux nouvelles fonctions, G et H, qu'on définit comme ça. Donc voilà, des expressions, on a l'impression qu'ils sortent un peu nulle part. Et on nous demande de montrer que G est convexe et que H est concave. Premier réflexe, quand on nous demande de montrer ça, peu importe les fonctions, on se lance dans les dérivées secondes et on essaye d'en déterminer le signe. Ça c'est vraiment, dans 90% des cas, voire même plus, quand on nous demande de déterminer si elle est concave ou convexe, on fait la dérivée seconde et on étudie le signe. Bon, on va faire ça avec G. Donc on va calculer la dérivée seconde de G et la dérivée seconde de H, on commence avec G. Donc G, c'est cette fonction-là. Alors là, j'ai préféré l'écrire comme ça, parce que vu qu'on va dériver, c'est mieux de dériver un polynôme que de dériver un produit, d'accord ? Donc cette expression-là, c'est mieux de la dériver en tant que polynôme, donc ça veut dire qu'on développe ces parenthèses-là, parce qu'un polynôme, ça se dérive très facilement, alors que si on voit ça comme un produit, il faut utiliser la formule de la dérivée d'un produit, c'est beaucoup plus long. Donc finalement, G écrit comme ça, c'est la même chose, mais ça va être beaucoup plus facile à dériver. Donc voilà pour G. Alors G', c'est f'-m sur 2 x-2x plus a plus b, d'accord ? Et donc finalement, la dérivée seconde, c'est f'2x-m sur 2 x-2, parce que ça, ça devient moins 2, et donc finalement, ça, ça fera moins 1, et vu qu'il y a un moins ici, ça se transforme en plus, donc G'2x, pardon, c'est f'2x plus m. Et on fait exactement la même chose avec H, sauf qu'en fait, ça, ici, ce sera un plus, ce sera un plus, qui finalement, ici, sera un moins, donc H'2x, c'est f'2x-m. Donc voilà pour les dérivées secondes. Alors maintenant, on nous dit de montrer que G est convexe et que H est concave. Alors par définition de m, étant donné que c'est la valeur absolue du sup, on sait que m est strictement positif, et même plus grand en valeur absolue que n'importe quelle valeur de f'2, et vu qu'il est positif, en fait, f'2x plus m, on sait que ce sera positif, donc G'2x est forcément positif, et de même, dans l'autre sens, H'2x est forcément négatif. Du coup, G est convexe et H est concave. Alors ensuite, on nous demande de en déduire cette inégalité-là, qui fait intervenir la valeur absolue de f'2x, avec du coup m fois x-a fois b-x sur 2. Alors là, la méthode qu'on va faire, c'est qu'on ne va pas se trimballer la valeur absolue de f'2x. Donc la méthode générale pour montrer que la valeur absolue de a est plus petite que b, on montre que a est plus petite que b, et on montre que a est plus grand que moins b. Donc là, il faut montrer que f'2x va être plus petit que ce qui est à droite, et plus grand que moins ce qui est à droite, donc m fois x-a fois b-x sur 2. Et on reconnaît en fait que si on passe ça de l'autre côté, on a G2x, donc en fait, cette inégalité-là, ça revient à montrer que G2x est négatif. Et pareil, si on passe ça de l'autre côté, on reconnaît H2x, positif, donc cette inégalité-là revient à montrer que H2x est positif. C'est ça qu'on va faire en fait. Et pour ça, on va utiliser la convexité de G et la concavité de H. On veut montrer que H est plus grand que 0, mais 0, on va le voir comme une équation de droite, on verra après laquelle. Et du coup, pour montrer que H est plus grand qu'une équation de droite, on va utiliser le fait que cette équation de droite, c'est l'équation d'une corde, parce qu'une fonction concave est au-dessus de ses cordes et en dessous de ses tangentes. Et pareil pour G, une fonction convexe, elle est en dessous de ses cordes, mais au-dessus de ses tangentes. Donc là, c'est exactement ça qu'on va faire. On utilise la propriété de base, on nous dit que F de A est égale à F de B est égale à 0, mais aussi G de A est égale à G de B est égale à H de A est égale à H de B est égale à 0. Donc, que ce soit la fonction F, G ou H en 0, ça vaut 0. Et du coup, on va utiliser la corde qui relie la courbe de G entre point d'abscisse A et point d'abscisse B. Et comme G est convexe, elle est en dessous de ses cordes, donc finalement, la courbe de G est en dessous de la corde reliant ces deux points-là. Donc comme je disais, point d'abscisse A, point d'abscisse B, et les ordonnées, c'est les ordonnées de la courbe de G. Et donc, c'est la corde qui relie A 0, B 0. Donc ça, c'est une droite parallèle d'équation Y égale 0. Donc finalement, G de X est plus petit que 0, et donc on a l'inégalité souhaitée, F de X plus petit que M fois X moins A, P moins X sur 2. En fait, on fait un raisonnement absolument similaire avec H, sauf que vu qu'elle est concave, ce sera au-dessus. Donc H est concave, elle est au-dessus de ses cordes. La courbe de H est au-dessus de la courbe reliant A H de A à B H de B, donc c'est-à-dire la corde qui relie A 0 à B 0. Donc pareil, c'est l'équation de cette droite, c'est Y égale 0. Donc sur A B, H de X est plus grand que 0, et donc on a l'inégalité, la deuxième inégalité qu'on souhaitait, donc ça veut dire que F de X est plus grand que moins M facteur de X moins A, facteur de B moins X sur 2. Et donc, on regroupe tout ça pour avoir la valeur absolue, finalement, de F de X qui est plus grand que M fois X moins A fois B moins X sur 2.

Majoration de f ’ grâce à f ”

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