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Physique-Chimie

Physique

Mouvement dans un champ uniforme

Le cours porte sur la chute d'un projectile et présente un exercice de type vrai ou faux. On nous donne une situation où un projectile est lancé d'un point O avec une vitesse initiale et un angle alpha par rapport à l'horizontale dans un champ de pesanteur uniforme G. 

La première affirmation est que le vecteur accélération A du projectile ne dépend pas des conditions initiales. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on trouve que l'accélération est égale à G, ce qui confirme que A ne dépend pas des conditions initiales.

Ensuite, la question est de savoir si le mouvement du projectile est plan. Un mouvement est plan s'il n'est contenu que dans deux dimensions. En étudiant la vitesse du projectile, on constate que la composante selon Z est nulle, ce qui signifie que le mouvement est effectivement plan, uniquement selon les composantes X et Y. 

La troisième affirmation concerne la trajectoire du projectile, on nous dit qu'elle est parabolique quelle que soit la valeur de alpha. Pour vérifier cela, on peut trouver un contre-exemple où la trajectoire n'est pas parabolique. Si on lance le projectile verticalement vers le bas, la trajectoire est rectiligne, pas une parabole. Donc, cette affirmation est fausse.

Enfin, la dernière affirmation est que pour un lancer horizontal, l'abscisse du point de chute est donnée par x = v0 * racine de (2h/g), où h est la hauteur initiale du projectile. En utilisant l'équation de la trajectoire, on trouve cette expression pour x et en l'injectant dans l'équation, on vérifie que y de x est bien égal à 0. Donc, cette affirmation est vraie.

En résumé, le vecteur accélération A du projectile ne dépend pas des conditions initiales. Le mouvement du projectile est plan, se déroulant dans les composantes X et Y. La trajectoire du projectile n'est pas toujours parabolique, sauf dans certains cas. Pour un lancer horizontal, l'abscisse du point de chute est donnée par x = v0 * racine de (2h/g).

Salut, c'est Layla pour Studio. Aujourd'hui, on va faire un exercice sur la chute d'un projectile. Donc l'exercice qu'on va faire, c'est un exercice de type vrai ou faux. Donc on vous met une situation et on vous demande, il y a plusieurs affirmations, on vous demande de savoir si elles sont vraies ou faux. Et évidemment, ce n'est pas précis, mais il faut bien justifier pour bien comprendre pourquoi est-ce que c'est vrai ou faux à chaque fois. Donc la situation que vous avez, elle est assez simple, c'est quelque chose que vous avez déjà vu en général dans ce chapitre sur la chute libre. Vous avez un projectile qui est lancé d'un point O, avec une vitesse initiale comme ça, qui fait un angle alpha par rapport à l'horizontale, dans un champ de pesanteur uniforme G. Donc le champ de pesanteur. La première question qu'on vous pose, c'est on vous dit, le vecteur accélération A du projectile ne dépend pas des conditions initiales. Donc ça, c'est quelque chose qui devrait être assez classique pour vous. Vous savez ce qui se passe dans un mouvement de chute libre, c'est un mouvement très particulier que vous avez beaucoup étudié. Donc on commence par faire le principe fondamental de la dynamique qu'on applique à ce projectile. Ici, il est soumis uniquement à son poids. Donc on a MA qui est égale à P et on sait que le poids, c'est M fois G. Donc je peux simplifier par la masse et ça me donne A égale G. Vous vous souvenez très bien de cette équation, c'est l'équation caractéristique de la chute libre. Et donc vous voyez qu'elle ne dépend pas du tout des conditions initiales d'accélération, elle dépend juste du champ de pesanteur. Donc cette affirmation-là est vraie. A ne dépend pas des conditions initiales. Ensuite, on vous dit que le mouvement du projectile est plan. Qu'est-ce que ça veut dire qu'un mouvement est plan ? Ça veut dire qu'il n'est contenu que dans deux dimensions. S'il y a une troisième dimension dans laquelle il y a la vitesse qui évolue, la position qui évolue, là on a un mouvement qui est en trois dimensions et il n'est plus plan. Donc c'est ça qu'on va chercher à voir ici. Donc il y a plusieurs manières de le faire. Moi, je vous propose d'étudier V, la vitesse, parce que si la vitesse, elle n'est que selon deux dimensions, il ne va rien se passer selon la troisième dimension. Donc je regarde notre équation de départ, A égale G, je la développe un peu. Donc ici, je vais juste noter le vecteur A en colonne. Et là, pour passer à la vitesse, je vais utiliser le fait que l'accélération, c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Donc j'intègre une fois. J'ai trois constantes d'intégration ici, qui sont les conditions initiales. Donc je vais regarder qu'est-ce qui se passe pour V0 initialement. Donc j'ai V0, qui est V0 cos alpha selon X et V0 sin alpha selon Y. Je réinjecte tout ça dans mon expression de V et ça me donne ça. Et donc là, je vois bien que j'ai un mouvement qui est plan. Pourquoi ? Parce que je n'ai pas de composante selon Z. Selon Z, j'ai V selon Z qui égale 0. Et donc, mon mouvement, il est uniquement selon les deux composantes X et Y. C'est un mouvement qui est plan. En fait, le plan du mouvement, on le voit très bien. Là, c'est ce plan-là. Vous voyez, là, à priori, je vois tout le mouvement. Ensuite, on nous dit la trajectoire du projectile est parabolique, quelle que soit la valeur de alpha. Donc pour ça, il faut se souvenir un peu qu'est-ce que c'est qu'une trajectoire parabolique ? Une trajectoire parabolique, c'est celle que vous voyez d'habitude, qui a la forme d'un polynôme du second degré. Donc quelque chose comme ça, ça va être une parabole, comme ça, comme ça. Si je mets ma vitesse vers le bas, des choses comme ça, là, tout ça, tout ça, ça va être des équations paraboliques. Donc, il y a plusieurs manières d'aborder le truc. Soit vous pensez que la réponse est oui. Dans quel cas, il faut faire une démonstration et montrer que, quelle que soit la valeur de alpha, si je trace la trajectoire, je vais trouver quelque chose qui ressemble à une fonction polynôme de degré 2. Mais il faut se persuader que c'est vrai, puisque si ce n'est pas vrai, vous allez droit dans le nœud. L'autre manière de faire, c'est que je me dis peut-être que c'est faux. Et si c'est faux, c'est un peu plus simple, parce qu'il suffit de trouver une situation dans laquelle ce n'est pas vrai, ce qu'on appelle un contre-exemple. Donc là, je vous propose d'examiner un peu ce qui se passe. Donc je vous ai montré, voilà, si je lance vers le haut, il va se passer des trucs un peu comme ça. Là, on voit assez bien. Si je diminue ma vitesse, voilà, si j'ai une vitesse qui est comme ça, mon projectile, il va tomber comme ça ou comme ça. Et moi, je vois notamment qu'il y a un cas particulier, c'est si je lance vraiment vers le bas, verticalement vers le bas, là, mon projectile, il va tomber comme ça. Et là, vous voyez que je n'ai plus du tout un mouvement parabolique. J'ai un moment qui est rectiligne. Alors, on pourra voir ensuite qu'il est uniformément accéléré. Mais à la base, il est rectiligne, c'est-à-dire que ce n'est pas une parabole. Donc là, ça a l'air d'être un bon contre-exemple qui semblerait dire qu'en fait, la réponse à cette question-là, c'est non. La trajectoire du projectile n'est pas parabolique, quelle que soit la valeur de alpha. Donc pour ça, il y a plein de manières de faire. Ensuite, pour justifier un peu ce qui se passe, ce que je vous propose de faire, c'est de regarder ce qui se passe pour la position. De toute façon, on aura besoin par la suite, donc ça tombe bien. Donc j'ai ma vitesse qui est la dérivée de la position par rapport au temps. Et ce que je vais faire, c'est que je vais détailler en fait, qu'est-ce que c'est que ce vecteur position. J'intègre encore une fois. J'ai deux constantes d'intégration, comme tout à l'heure, que je vais trouver par rapport aux conditions initiales. Qu'initialement, ma balle, elle se trouve à x égale 0 et y égale h. Donc ça me donne cette expression-là pour la position. Et donc là, je peux voir directement le cas de tout à l'heure où j'ai dit que je tombais, je lançais avec une vitesse comme ça vers le bas. C'est le cas où alpha est égal à moins pi sur 2. Et donc dans ce cas-là, j'ai un mouvement qui est rectiligne. Et donc je le montre bien. Pourquoi ? Parce que si alpha c'est moins pi sur 2, ce truc-là, ça disparaît. J'ai un mouvement qui va que selon y ici. Donc c'est un mouvement qui est rectiligne. Dernière question. Pour un lancer horizontal, l'abscisse de son point de chute est x égale v0 fois racine de 2 h sur g. On va faire attention bien à la question. Par exemple, quand j'avais corrigé au début, je n'avais pas fait gaffe que c'était horizontal. Donc forcément, la réponse n'est pas du tout la même. Donc qu'est-ce que ça veut dire que je lance de manière horizontale ? C'est dire que v0, il est comme ça. Et donc alpha égale 0. C'est ça que ça veut dire qu'on a un lancer horizontal. Donc ce qu'il faut pour déterminer le point de chute, c'est d'abord de déterminer l'équation de la trajectoire. Pourquoi ? Qu'est-ce que c'est le point de chute ? Si je reviens là, c'est le point où j'atterris sur le sol. Qu'est-ce que ça veut dire quand j'atterris sur le sol ? Ça veut dire que y de mon projectile vaut 0. C'est ça la définition de j'atterris sur le sol, je suis au point de chute. Donc pour ça, le mieux c'est de déterminer l'équation de la trajectoire. Qu'est-ce que c'est la trajectoire ? C'est y en fonction de x. Pour moi, il faut que j'élimine en fait le temps. Vous voyez que là j'avais le mouvement, la position en fonction du temps. Et maintenant, j'aimerais bien l'avoir uniquement en fonction de x puisque je veux juste savoir que vaut x quand ça tombe, grosso modo. Pour ça, la méthode c'est toujours la même. Je commence par isoler le temps puisque je veux m'en débarrasser. Donc si je veux m'en débarrasser, il faut que je me débrouille pour l'exprimer en fonction d'autre chose. Là en l'occurrence, je veux l'exprimer en fonction de x. Ensuite, je vais l'injecter dans l'expression de y de tout à l'heure. Vous voyez que j'avais du t2 et du t et hop, là j'ai mis x sur v0 cos alpha dedans. Et ensuite, nous finalement, ce qu'on cherche c'est x tel que y de x égale 0, c'est là le point de chute. J'utilise le fait que c'est horizontal et comme j'ai dit, quand c'est horizontal, on a dit alpha égale 0. Donc alpha égale 0, c'est-à-dire que cos alpha il vaut 1 et sin alpha il vaut 0. Donc tout ce truc là, ça disparaît. Il y a plusieurs manières de faire. Soit vous pouvez résoudre l'équation du second degré. Là, on peut, elle n'est pas très difficile. Vous voyez qu'il n'y a que du x carré, il n'y a pas de x. Soit sinon, le plus simple, c'est de prendre la valeur qu'on vous donne ou vous donner ça et de dire je l'injecte dedans et je regarde si ça marche ou pas. Donc c'est ce que j'ai fait ici. Je prends le x, je le réinjecte. Voilà le x qu'on me propose. Et je vois bien qu'en effet, pour ce x là, j'ai bien y de x qui vaut 0. Donc ça veut dire que c'est vrai, c'est bien le point de chute qu'on a trouvé ici. J'espère que cette vidéo vous aura été utile. N'hésitez pas à poser vos questions.

Chute d'un projectile

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