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Physique-Chimie

Physique

Mouvement dans un champ de gravitation

Le cours traite du mouvement de Phobos autour de la planète Mars. On commence par déterminer les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse de Phobos dans le repère de Fresnel lié au référentiel marso-centrique. Ensuite, on montre que le mouvement de P est uniforme, ce qui signifie que la norme du vecteur vitesse est constante. On applique le principe fondamental de la dynamique pour déterminer les forces qui s'appliquent à Phobos, en particulier la force gravitationnelle. On utilise ensuite le théorème fondamental de la dynamique pour relier l'accélération à la force gravitationnelle. En projetant cette relation sur les vecteurs tangentiels et normaux, on montre que le mouvement est uniforme. Il est important de retenir le cadre du repère de Frenet et d'utiliser les repères associés de manière efficace dans les problèmes de mouvement en champ de gravitation.

Bonjour à tous, c'est Matisse de STUDIO. Dans cette vidéo, on va étudier le mouvement de Phobos autour de la planète Mars. Première question, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse de Phobos dans le repère de Fresnel lié au référentiel marso-centrique. Dans ce type d'exercice, il faut bien sûr commencer par faire un schéma de la situation. Alors, nous introduisons alors sa trajectoire circulaire autour de la planète Mars, donc de Phobos, avec les différents vecteurs qui sont inhérents au référentiel de Fresnel. Donc, on a bien sûr le vecteur normal N qui est dirigé vers le centre de gravitation, ici la planète Mars, et puis le vecteur tangentiel T qui est donc suivi par le vecteur vitesse. On a la force qui est appliquée par Mars sur Phobos, juste ici, et donc dans un repère de Fresnel, ça c'est une relation à connaître par cœur, et bien les coordonnées de vecteur accélération sont dv sur dt suivant le vecteur T, et v² sur R suivant le vecteur N. Ça, il faut le connaître par cœur. Alors, c'est quoi ici, v qu'on a là ? Eh bien, v, c'est la norme du vecteur vitesse. Maintenant, deuxième question, montrer que le mouvement de P est uniforme. Et là, justement, ça veut dire quoi un mouvement uniforme ? Ça veut dire dont la norme du vecteur vitesse est constante. Attention, pas juste le vecteur, pas le vecteur vitesse est constant, parce que là, il ne fait que tourner, sa direction change tout le temps, mais c'est sa norme qui doit être constante. Donc, le petit v. Or, une norme constante dans le temps, eh bien, ça veut dire que dv sur dt est égal à zéro. Ici, on nous demande de montrer que la première composante de l'accélération dans le repère de Fresnel, eh bien, elle est nulle. Alors, c'est parti, on nous demande de déterminer les composantes, une relation, en fait, il nous faut une relation entre l'accélération et puis d'autres données qu'on peut introduire dans l'exercice, eh bien, notamment cette force, et là, forcément, on pense à appliquer le principe fondamental de la dynamique. Et donc, pour cela, on doit déterminer les forces qui s'appliquent ici à Phobos. Alors, qu'est-ce qu'on a ? La seule force que subit Phobos, c'est la force gravitationnelle, et il faut donner son expression F, c'est égal à grand G, mp, mn, donc la masse de Phobos, la masse de Mars, le tout divisé par grand R au carré, suivant le vecteur unitaire n. Donc ici, il n'y a pas de moins, puisque n est dirigé dans le bon sens. C'est ça, la bonne expression pour la force gravitationnelle dans le repère de Fresnel. Alors, c'est parti pour appliquer le théorème fondamental de la dynamique, eh bien, qu'est-ce qu'on va déduire ? La masse de Phobos fois son accélération, c'est égal à la force qui subit. Donc, finalement, si on détaille l'expression qu'on a obtenue, eh bien, dv sur dt fois le vecteur tangentiel plus v carré sur grand R fois le vecteur n, eh bien, c'est égal à grand G, mp, mn, le tout divisé par R carré fois le vecteur unitaire n. Et donc ici, si on analyse très bien, on pourrait projeter, par exemple, cette relation suivant le vecteur t, on obtiendrait, du côté gauche, dv sur dt, puisque les deux sont orthogonales ici, donc ça simplifie, le produit scalaire de n et de t vaut 0. Et ici, il n'y a aucune composante suivant le vecteur t, donc en projetant, eh bien, on obtiendrait 0. Ou ici, on peut remarquer, comme ça définit une base, une base de vecteur, eh bien, on n'a pas de composante pour le vecteur t dans la seconde, donc, au final, on en déduit en projetant, si on veut, que dv sur dt est égal à 0, donc le mouvement est uniforme. Et de même, on pourrait déterminer, ici, des relations en projetant suivant l'autre vecteur. Donc voilà, c'est un exercice introductif de la manière dont on peut raisonner sur un problème en mouvement, en champ de gravitation. C'est très important de retenir tout le cadre du repère de Frenet, qui est très très pratique, c'est très très court en physique, que l'on utilise des repères associés très simples, dans lesquels on peut manipuler les objets de la manière la plus efficace possible, donc bien retenir cette relation juste ici. Et puis, à partir du moment où on veut des informations sur les composantes du vecteur accélération, eh bien, on peut en obtenir en appliquant le théorème fondamental de la dynamique, et ainsi le relier à la force que subit l'objet que l'on regarde. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt !

Mars et Phobos

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