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Mouvement dans un champ de gravitation

Dans cette vidéo, nous étudions le télescope spatial Hubble, un outil important en astrophysique. Le télescope est placé en orbite autour de la Terre à une altitude de 600 km. En utilisant la deuxième loi de Newton, nous déterminons les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse du télescope dans le repère de Frenet lié à la Terre. Nous décomposons la force gravitationnelle appliquée au télescope et établissons les composantes de l'accélération dans les directions tangentielle et normale. Ensuite, nous calculons les coordonnées du vecteur vitesse du télescope, qui est seulement dans la direction tangentielle. En utilisant une relation précédemment établie, nous trouvons la norme de la vitesse et ses composantes dans le repère de Frenet. Enfin, nous calculons la valeur de la vitesse du télescope dans le référentiel géocentrique, qui est de 7,56 km/s.

Bonjour à tous, c'est Baptiste de Studio et dans cette vidéo, on va étudier le mouvement d'un outil formidable de l'astrophysique, le télescope spatial Hubble. Alors, on dit qu'il a permis de nombreuses découvertes dans le domaine de l'astrophysique. Il est placé à une orbite quasiment circulaire, à une altitude H, qui est égale à 600 km par rapport à la surface de la Terre. Alors, première question, par application de la deuxième loi Newton, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du centre de masse H, de Hubble, dans le repère de Frenet, lié au référentiel géocentrique. Bon, ici, la méthode est toute tracée, donc on y va. Alors, dans un repère de Frenet, tout d'abord, bien sûr, on se place dans le cadre du cours, on représente bien le schéma et bien la situation. La Terre, bien sûr, avec H qui tourne autour d'elle. Dans un repère de Frenet, nous avons l'accélération, qui est égale à dv sur dt et v² sur r, dans le repère T-N. C'est le repère de Frenet. Alors, maintenant, on nous demande d'appliquer la deuxième loi Newton, qui est le principe fondamental de la dynamique, et pour cela, il y a une méthodologie très claire à adapter, et il faut la répéter à chaque fois. Alors, tout d'abord, la seule force que subit Hubble, bien c'est la force gravitationnelle. Donc là, on pose les bases, on montre que l'on a compris, la force gravitationnelle, elle est égale à grand G fois la masse de Hubble fois la masse de la Terre, le tout divisé par grand R², la distance qui sépare le centre de masse des deux astres. Donc ici, grand R, c'est égal au rayon de la Terre plus l'altitude du satellite, donc RT plus H. Le tout suivant le vecteur inter N, c'est une force attractive. Alors, appliquons le théorème fondamental de la dynamique, il nous dit que la masse de Hubble fois son accélération, et bien c'est égal à la force de gravitation. Donc, si on décompose, la composante suivant T fois le vecteur T plus la composante suivant N fois le vecteur N est égale à GmHmT, divisé par grand R² fois N. Donc, si on regarde les composantes, et bien suivant le vecteur T, on n'a pas de composante de l'autre côté de l'égalité, donc la composante AT est nulle, alors que la composante AN, on pourrait projeter suivant le vecteur N si on a envie, et donc AN c'est égal à GmHmT divisé par grand R². Donc, nous avons déterminé les coordonnées du vecteur accélération dans la base de Freinet, c'est 0, et puis GmHmT R² suivant T et N. Alors, deuxième question, déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de Hubble dans le repère de Freinet. Alors, qu'est-ce qu'on peut dire ? Dans un repère de Freinet, et bien on sait que la vitesse suit la trajectoire circulaire, donc elle est seulement suivant grand T. Ainsi, on peut introduire une norme de la vitesse, donc grand V suivant T, et on a dit qu'il n'y avait pas de composante suivant N, sinon il s'écarterait de sa trajectoire circulaire. Donc, les coordonnées de V, ce sont V et 0. Or, d'après la question précédente, si on avait projeté sur N cette relation, avec la composante AN de l'accélération dans un repère de Freinet, c'est V² sur grand R, la norme de vitesse au carré divisé par grand R, et bien ici, on aurait eu quoi ? On aurait eu, attention à ne pas oublier, ici, mH, d'ailleurs ici on aurait pu le préciser, mH fois AN est égale à GmHmT, le tout divisé par R². Donc, c'est pourquoi V² sur grand R est égal à GmT divisé par grand R au carré, et à ce moment-là, on n'a plus qu'à simplifier, grand V c'est égal à racine de GmT, le tout divisé par R, on a fait tomber une puissance en multipliant le tout par R. Donc, finalement, les composantes dans un repère de Freinet de la vitesse, c'est racine de GmT divisé par R, et puis 0 suivant T et N. Et puis, troisième question, calculer la valeur de la vitesse de Hubble dans le référentiel géocentrique. On va déterminer la vitesse de cet étéscope avec les données dont on dispose. En faisant l'application numérique, la norme de la vitesse c'est 7,56 km par seconde, et c'est d'ailleurs une donnée qu'on peut retrouver dans les informations données par le télescope. Voilà, c'était une approche très complète sur le repère de Freinet, comment est-ce qu'on peut l'utiliser et quelles sont les composantes de l'accélération et de la vitesse pour un objet qu'on étudie. Et à partir de là, il faut bien connaître son cours et appliquer les formules, savoir projeter aussi, bien sûr, quelque chose de fondamental. Et puis, ça se déroule à partir de là. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt !

Hubble

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