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Physique

Mouvement dans un champ de gravitation

Dans cette vidéo, on explique pourquoi la troisième loi de Kepler est une "balance cosmique". On commence par présenter un tableau avec la période de révolution et le rayon orbital de différentes planètes du système solaire. Ensuite, on établit l'expression de la vitesse du centre de masse d'une planète dans le référentiel héliocentrique en utilisant le PFD et en considérant la force gravitationnelle comme seule force agissant sur la planète. On utilise ensuite le théorème fondamental de la dynamique pour obtenir une expression de la norme de la vitesse de la planète. Ensuite, on déduit l'expression de la période de révolution de la planète en fonction du rayon orbital, de la constante gravitationnelle et de la masse du soleil en utilisant la relation entre la vitesse et la période de révolution. On montre ensuite que le rapport entre la période de révolution et le rayon orbital au cube est égal à une constante, ce qui vérifie la troisième loi de Kepler. On explique également comment déterminer la masse du soleil à partir de la constante gravitationnelle et des valeurs de la période de révolution et du rayon orbital. Enfin, on justifie pourquoi la troisième loi de Kepler est une "balance cosmique" en montrant que la période de révolution et le rayon orbital varient de manière liée et que le rapport entre les deux doit être constant. On conclut en qualifiant la troisième loi de Kepler de "balance cosmique" car elle équilibre la période de révolution et le rayon de manière directe.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo, on va montrer pourquoi la troisième loi de Kepler est une balance cosmique. Le tableau ci-dessous donne la période de révolution de quelques planètes du système solaire, ainsi que le rayon de leur orbite, assimilable à un cercle dans le référentiel héliocentrique. Pour les satellites de Mars, Jupiter et Saturne, on a en effet la période de révolution et puis le rayon, attention, les unités sont un peu particulières. Première question, établir l'expression de la valeur de la vitesse du centre de masse d'une de ces planètes dans le référentiel héliocentrique, alors ça commence à devenir une question un peu classique, une fois qu'on est arrivé à ce stade-là du chapitre, donc pour établir l'expression de la valeur de la vitesse, on doit appliquer le PFD aux satellites considérés. Donc pour une trajectoire circulaire uniforme, on se souvient que dans le repère de Frenet, l'accélération est égale à grand V au carré, donc la norme de la vitesse au carré, divisé par R, le rayon de la trajectoire, fois N, le vecteur unitaire de la base de Frenet. Cependant, la seule force que subit la planète est la force gravitationnelle. En effet, F c'est égal à grand G MP, ici on a une MS, donc la masse de la planète fois la masse du soleil, divisé par R carré, dirigé, suivant le vecteur N. Très bien, maintenant en appliquant le théorème fondamental de la dynamique, MP, la masse de la planète fois son accélération, c'est égal à grand F. Donc, en projetant suivant le vecteur N, on obtient V carré divisé par R est égal à grand G MS divisé par R carré. Donc finalement, nous obtenons que la norme du vecteur de vitesse de la planète, c'est égal à racine carré de grand G fois MS, le tout divisé par R. Très bien, maintenant question 2, en déduisant l'expression de sa période de révolution en fonction de G, R et M, grand MS, la masse du soleil. Donc, comment est-ce qu'on peut se rattacher à la période de révolution du satellite ? Eh bien, ici il faut se rappeler du lien qu'il y a entre la vitesse de la planète et sa période de révolution. Eh bien bien sûr, selon la relation V est égal à distance sur temps, eh bien la distance parcourue durant une période de révolution, eh bien c'est le périmètre d'un cercle, donc c'est 2πR. V est égal à 2πR sur grand T, donc on n'a plus qu'à égaliser ces deux expressions juste ici, et puis on obtient l'expression de la période de révolution, c'est égal à 2π fois la racine carré de R au cube divisé par grand G fois la masse du soleil. Maintenant, troisième point, donner l'expression du rapport T² sur R³ dans le référentiel héliocentrique. La troisième boîte qui pleure, est-elle vérifiée ? Donc, à partir de là, on doit nous donner l'expression de T² divisé par R³, eh bien on n'est pas très loin, on n'a plus qu'à mettre cette expression au carré, donc on aura du T² qui est égal à 4π² fois R³ divisé par grand G ms, et donc finalement, en divisant par R³, on obtient bien la troisième loi de Kepler, T² divisé par R³ est égal à 4π² divisé par grand G fois ms. Quatrième question, déterminer maintenant la masse ms du soleil, sachant qu'on nous donne comme données, eh bien la constante de gravitation et puis n'importe quelle valeur de la période de révolution et du rayon. Donc, on a juste à en prendre une et à faire l'application numérique à partir de l'expression qu'on obtient juste ici, ms est égal à 4π² fois R³ divisé par grand G fois T², donc l'application numérique nous donne quoi ? La masse du soleil est de 1,99 fois 10 puissance 30 kg, et c'est effectivement bien la masse de notre soleil. Et enfin, cinquième question, justifier en quoi la troisième loi de Kepler est une balance cosmique, et pour ça, il faut se pencher sur le tableau juste ici. Donc, on remarque que lorsque la période de révolution, plus la planète va mettre de temps à faire le tour du soleil, eh bien plus le rayon va être important. Comment est-ce qu'on peut résumer ça ? La troisième loi de Kepler peut être qualifiée de balance cosmique car elle équilibre la période de révolution et le rayon de manière directe, le rapport doit être constant, c'est ce qu'on a juste ici. En fait, vu que le second terme est constant, eh bien les seules choses qui peuvent varier ce sont grand T et R, et lorsqu'elles varient, elles varient de manière totalement liée. Donc c'est pour ça que sa balance, si T doit augmenter, eh bien d'après ce rapport qui doit être constant, forcément R doit aussi augmenter. Voilà en quoi la troisième loi de Kepler peut être qualifiée de ce terme assez rigolo, balance cosmique. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt.

Balance cosmique

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