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Physique

Mouvement dans un champ de gravitation

Dans cette vidéo, il est étudié le mouvement de Titan autour de Saturne grâce aux premiers clichés de Saturne, de ses anneaux et de ses satellites, notamment Titan, pris par la sonde Cassini-Huggins. La première question demande de représenter qualitativement sur un schéma Saturne, Titan et la force de gravitation appliquée à Titan. La deuxième question demande l'expression vectorielle de cette force, qui est G fois la masse de Saturne, fois la masse de Titan, divisé par le rayon de la trajectoire au carré.

La troisième question demande d'exprimer l'accélération vectorielle de Titan en fonction des grandeurs introduites dans l'énoncé. On utilise les théorèmes fondamentaux de la dynamique et l'accélération de Titan est égale à G fois la masse de Saturne divisé par le rayon de la trajectoire au carré, suivant N.

La quatrième question demande de montrer que le mouvement de Titan est uniforme. Pour cela, on utilise la définition de l'accélération dans le repère de Fresnet et on démontre que la norme de la vitesse de Titan est constante, ce qui prouve que le mouvement est uniforme.

Enfin, la cinquième question demande de montrer que l'expression de la vitesse orbitale de Titan autour de Saturne est vt = √(G x masse de Saturne / rt) et de calculer sa valeur. En réutilisant la formule précédente, on trouve que vt = √(G x masse de Saturne / rt).

Cet exercice met en pratique le principe fondamental de la dynamique et nécessite de suivre une méthodologie claire. Il est important de retenir cette méthodologie pour résoudre des exercices de mécanique.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo, on va étudier le mouvement de Titan autour de Saturne. Alors, lors de sa mission d'exploration, la sonde européenne Cassini-Huggins a livré les premiers clichés de Saturne, notés S, de ses anneaux, et de ses nombreuses satellites, dont Titan, noté T, qui est le plus grand, de masse grande. On considère que son centre décrit une trajectoire circulaire, ou autour de Saturne. Première question, représentez qualitativement sur un schéma, Saturne, Titan, et la force de gravitation appliquée sur Titan, et notamment, on demande de donner, à la deuxième question, l'expression vectorielle de cette force. Bon, début d'exercice plutôt classique, mais en base, on met en route les choses, et donc, on représente le schéma avec la base de Freinet associée, juste ici, pour Titan, avec la force qui lui est appliquée, et son expression vectorielle, c'est quoi ? C'est grand G, fois la masse de Saturne, fois la masse de Titan, divisé par le rayon de cette trajectoire, au carré. Le tout est porté par le vecteur de la base de Freinet, N. C'est une force qui est, bien sûr, à connaître par cœur. Troisième question, exprimez l'accélération vectorielle de Titan, en précisant la loi utilisée, et précisez ses caractéristiques. Alors, c'est-à-dire qu'on nous demande d'établir une expression de l'accélération, en fonction des grandeurs introduites dans l'énoncé, et donc, très vraisemblablement, on va se pencher sur les théorèmes fondamentales de la dynamique. Alors, on met les choses en place, il faut suivre un protocole très clair, lorsque, en examen, on nous demande d'appliquer ce théorème, et c'est toujours le même, donc on apprend la méthodologie, à partir de là, on ne peut pas se tromper. Premièrement, on définit le système auquel on s'intéresse, donc ici, il s'agit du satellite Titan, de masse grand Md. On fait ensuite le bilan des forces qui s'appliquent à cet objet, donc ici, il s'agit simplement de la force gravitationnelle. On peut aussi préciser le référentiel d'étude dans lequel on se place, ici, c'est le référentiel centré sur Saturne, et ensuite, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique, qui nous dit que Mt fois l'accélération de Titan, c'est égal à F. Et donc, en divisant par Mt les deux côtés, eh bien, on trouve finalement que l'accélération de Titan, c'est égal à grand G fois Ms, le tout divisé par RT au carré, suivant N. L'accélération, si on montre ses caractéristiques, eh bien, elle est de norme constante, attention, N bouge, donc c'est simplement sa norme qui est constante, et elle est centripète, c'est-à-dire qu'elle pointe toujours vers le centre du cercle. Ensuite, quatrième question, montrer que le mouvement de Titan est uniforme. Voilà, c'est des questions auxquelles on est déjà plutôt familiers. Comment est-ce qu'on montre qu'il est uniforme ? Eh bien, il faut se rappeler de la définition de l'accélération dans le repère de Fresnet. Donc, dans un repère de Fresnet, suivant la composante t, c'est dv sur dt. Or, ici, si on garde cette égalité, juste ici, il n'y a pas de composante suivant le vecteur, selon le vecteur t. Donc, ça veut dire que dv sur dt est égal à 0, et donc que la norme de la vitesse de Titan est constante. Attention, c'est bien la norme. Et donc, le mouvement est uniforme. Finalement, cinquième question, montrer que l'expression de la vitesse orbitale de Titan autour de Saturne est une expression assez classique, vt, c'est égal à la racine carrée de grand G fois la masse de Saturne, le tout divisé par rt. Maintenant, calculer sa valeur. Et bien, pour cela, on réexploite la même formule qu'on a appliquée précédemment. C'est ça qui est pratique, c'est qu'on peut en déduire pas mal d'informations à partir de ça. Et donc, sachant que l'expression dans le repère de Fresnet de la composante suivant n est cette-ci, vt² divisé par rt, et bien, d'après le PFD, nous avons cette relation juste ici, et en projetant sur le vecteur unitaire n, et bien, on a vt² qui est égal à grand G fois grand ms, le tout divisé par grand rt. Et donc, finalement, vt est égal à racine carrée de grand G, grand m, divisé par rt. Voilà, c'est un exercice très complet sur la manière dont on applique, et vraiment très précisément, ce PFD. Il est très important de retenir la méthodologie qui est la même pour tout l'exercice de mécanique à partir de ça. Elle vous servira toute votre vie. Et donc, à partir de là, on n'a plus qu'à jongler entre les différentes grotteurs pour faire apparaître les résultats souhaités. Merci beaucoup d'avoir suivi ces vidéos, et puis je vous dis à bientôt !

Titan et Saturne

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