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Probabilités

Calcul de probabilités par dénombrement

Bienvenue dans cet exercice qui mélange probabilités et matrices. On nous décrit E comme l'ensemble des matrices 2x2, avec des coefficients réels valant 0 ou 1. L'expérience aléatoire que nous faisons est de tirer au hasard une matrice de cet ensemble et d'étudier 4 événements : A (matrice diagonale), B (matrice triangulaire supérieure non diagonale), C (matrice triangulaire inférieure non diagonale) et D (matrice non triangulaire). 

Pour déterminer la probabilité de chacun de ces événements, on utilise la méthode classique : on compte le nombre de matrices correspondant à chaque événement et on divise par le nombre total de matrices. 

Pour A, il faut que les coefficients ε2 et ε3 soient égaux à 0, et les coefficients ε1 et ε4 peuvent prendre n'importe quelle valeur. Cela nous donne 4 possibilités. Donc la probabilité de A est de 1/4. 

Pour B, il faut que le coefficient ε2 soit égal à 1 et le coefficient ε3 soit égal à 0. Les coefficients ε1 et ε4 peuvent prendre n'importe quelle valeur. Cela nous donne également 4 possibilités. Donc la probabilité de B est de 1/4. 

Pour C, on fait le même raisonnement que pour B, mais en inversant les coefficients ε2 et ε3. Donc la probabilité de C est également de 1/4. 

Pour D, on aurait pu regarder toutes les possibilités restantes, mais il suffit de voir que les matrices non triangulaires ont aussi 4 possibilités. Donc la probabilité de D est de 1/4. 

Ensuite, on nous demande de déterminer la probabilité que les matrices soient diagonalisables. 

Les matrices de A sont diagonales, donc elles sont toutes diagonalisables. 

Pour les matrices de B et C, elles sont triangulaires et donc pour qu'elles soient diagonalisables, il faut que les valeurs propres ne soient pas des racines multiples. Pour cela, il faut que les valeurs sur la diagonale soient différentes (0 ou 1). Il y a donc 2 possibilités pour chaque coefficient. 

Pour les matrices de D, toutes sont diagonalisables. 

En résumé, on a 12 matrices diagonalisables sur les 16 matrices possibles. Donc la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable est de 3/4.

Salut, bienvenue dans cet exercice qui mélange probas et matrices. Alors, le contexte, c'est celui-ci. Donc on nous décrit E comme l'ensemble des matrices 2 x 2, donc c'est les matrices à 4 coefficients, et on nous précise que les εi sont des réelles valant 0 ou 1. L'expérience aléatoire qu'on fait, c'est qu'on tire au hasard une matrice de cet ensemble et on va considérer 4 événements. A, c'est M est diagonale. B, c'est M est triangulaire, supérieure et non diagonale. C, c'est M est triangulaire, inférieure et non diagonale. D, c'est M n'est pas triangulaire. Ensuite, première question, déterminer la probabilité de chacun des événements précédents. Donc, on nous dit avec équiprobabilité. Donc là, la méthode classique, c'est de compter le nombre d'issues qui nous intéresse divisé par le nombre d'issues total. Donc, pour A, c'est les matrices triangulaires. Pour les matrices triangulaires, il faut tout simplement que les deux coefficients qui sont ici valent 0. Donc il faut que E2 et E3 valent 0, ça c'est réglé, et ensuite, pardon, j'ai dit E ε2 et E ε3, et ensuite ε1 et ε4 peuvent valoir n'importe quoi. Ils peuvent valoir 0, parce que la matrice nulle est une matrice triangulaire, il y a juste des 0 sur la diagonale, et ils peuvent valoir 1 et 0 chacun, donc ça, ça nous laisse 4 possibilités. Donc voilà, les deux, comme je disais, doivent valoir 0. Dans l'exercice, j'ai écrit des E au lieu des ε, c'est pas très grave, on corrigera. E1 et E4, comme je disais, sont quelconques, donc ça nous fait 4 possibilités. Donc P de A, c'est 4 sur 16, donc 1 quart. Pour maintenant B, on veut que M soit triangulaire supérieur et non diagonale. Donc triangulaire supérieur, c'est ça, et non diagonale. Donc ça veut dire qu'il ne faut pas que E2 soit égal à 0, on veut que E3 soit égal à 0, mais on ne veut pas que ε2 soit égal à 0, donc, clairement, on veut qu'il soit égal à 1. Donc, comme je disais, E2 égal à 1, E3 égal à 0, et cette fois-ci, par contre, E1 et E4 sont quelconques. Donc là, pareil, il y a 4 possibilités. Même raisonnement pour C, mais on inverse E2, E3, et donc ça nous fait aussi 4 possibilités, donc probabilité 1 quart. Et pour D, on aurait pu regarder toutes les possibilités restantes, il en restait 4, mais il faut que, du coup, comme je disais, ce soit pas triangulaire. Donc pas triangulaire, il faut que C de là vale 1, et donc ça nous fait aussi 4 possibilités. Donc voilà pour les probabilités. Ensuite, déterminer la probabilité que M soit diagonalisable. Bon, là, il faut avoir des petites notions de matrice, quand même, savoir ce que c'est qu'une matrice diagonalisable. Globalement, les matrices de A sont des matrices diagonales, donc diagonalisables. Donc il y a une particularité pour les matrices B et C, de B et C, ce sont des matrices triangulaires, donc pour qu'elles soient diagonalisables, on se rappelle, il faut que les racines ne soient pas des racines multiples. Alors, dans le cas où c'est des racines multiples, ça voudrait dire que c'est soit égal à l'identité, soit égal à la matrice nulle, parce qu'ici, les racines, ce serait soit 1, soit 0, enfin les valeurs propres, pardon, ce serait soit 1, soit 0, les racines du polynôme caractéristique. Donc soit 1, soit 0, et du coup, la matrice serait soit semblable à l'identité, soit semblable à la matrice nulle. Bon, c'est pas le cas. Donc, pour qu'elles soient diagonalisables, il faut que les valeurs de la diagonale soient différentes, donc 0 ou 1. Donc une fois tout ça fixé, il n'y en a que 2 pour chacun, d'accord ? On fixe 0, 1. Il y a deux possibilités pour la dernière valeur qu'on peut prendre, et 1, 0. Donc voilà, ça fait 2 chacune pour B et C. Et pour les matrices de D, en fait, elles sont toutes diagonalisables. Bon, on n'est pas dans le chapitre sur les matrices, donc je ne vais pas forcément détailler ça, mais si vous voulez vous en convaincre, faites le polynôme caractéristique, et voyez qu'il admet deux racines distinctes. Ça, ça veut dire que la matrice est diagonalisable. Donc, si on fait le bilan, on a les matrices de A qui sont diagonalisables. Pour B et C, on en a seulement 2 qui seront diagonalisables dans chacun de B et de C. Et pour D, on en a 4. Elles sont toutes diagonalisables. On fait la somme, ça nous fait 12 matrices diagonalisables. Et bien, même principe, nombre de matrices qui nous intéresse divisé par le nombre de matrices totale. Donc ça nous fait 12 sur 16, ça fait 3 quarts. Donc la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable, c'est 3 quarts.

Matrice diagonale

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