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Maths

Probabilités

Calcul de probabilités par dénombrement

Dans cet exercice, nous devons organiser une coupe de basket entre N équipes de première division et N équipes de deuxième division. Chaque équipe doit jouer un match et un seul. 

Pour calculer la probabilité que tous les matchs opposent une équipe de première division à une équipe de deuxième division, nous devons d'abord calculer le nombre total de tirages au sort possible. Il s'agit d'une liste de taille N de combinaisons 2 à 2 disjointes. En simplifiant les calculs, nous obtenons le nombre total de tirages au sort : 2N! / (2^N). 

Ensuite, nous calculons le nombre de matchs où les équipes sont de divisions distinctes. Pour chaque match, il y a N choix d'équipe de première division et N choix d'équipe de deuxième division. En simplifiant les calculs, nous obtenons le nombre de possibilités de matchs : N!^2. 

La probabilité que chaque match oppose une équipe de chaque division est donc le nombre de matchs avec des équipes distinctes divisé par le nombre total de tirages au sort. Après quelques simplifications, nous obtenons N!^2 / (2N! / (2^N)).

Ensuite, nous devons calculer la probabilité que tous les matchs opposent deux équipes de la même division. Si N est impair, cela n'est pas possible car il manquerait une équipe à rencontrer. En supposant que N est pair, nous calculons le nombre total de matchs où les équipes sont de la même division. Nous obtenons une formule complexe, que nous simplifions pour trouver QN.

Enfin, nous devons montrer que pour toute valeur de N supérieure à 1, nous avons l'inégalité N! / (2N!) < 1/2. Pour cela, nous utilisons des transformations algébriques pour simplifier l'expression N parmi 2N et montrer que cela est inférieur à 1/2. Nous concluons que les limites de Pn et Qn tendent vers 0 à mesure que N tend vers l'infini, selon le théorème des gendarmes.

Salut, bienvenue dans cet exercice de ProBas, qui est en réalité un peu plus un exercice de dénombrement. Alors, on nous dit, pour organiser une coupe, on organise un tirage au sort, qui réunit N équipes de basket de 1ère division et N équipes de basket de 2ème division. Et on veut que chaque équipe joue un match et un seul. Alors, première question, on nous dit que la priorité PN que tous les matchs opposent une équipe de 1ère division à une équipe de 2ème division. Bon, ça, c'est un tirage au sort, donc on considère qu'il y a une situation d'équiprobabilité, donc on va regarder le nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues totale. Donc on va commencer par calculer le nombre d'issues totale parce que ça ne saute pas forcément aux yeux combien on a de possibilités d'organisation de match parmi tous ces tirages au sort. Donc ce qu'on va voir, c'est qu'on va calculer le nombre de tirages au sort possible. Donc, en fait, c'est une liste de taille N de combinaisons 2 à 2 disjointes. Parce que 2 à 2, finalement, c'est des matchs. Donc pour le premier match, on a combien de possibilités ? On a 2 parmi 2N possibilités d'avoir la combinaison du premier match. Pour le deuxième, on a 2 parmi 2N-2 parce qu'il ne reste que 2N-2 équipe. Pour le troisième match, on a 2 parmi 2N-4 il en reste 2N-4, etc. On continue et on finit avec 2 parmi 2 pour le dernier match. Donc tout ça, ce sont des combinaisons. On sait les calculer maintenant à force. Après simplification, j'ai pas voulu trop détailler les calculs parce que c'était un peu barbant, mais normalement, c'est que du calcul, il n'y a rien à savoir faire. Et après calcul, ça nous fait 2N factoriel sur 2 puissance N. Donc ça, c'est le nombre total de tirages au sort qu'on peut avoir. Ensuite, maintenant, on veut ce qui nous intéresse. Donc c'est le nombre de matchs pour les équipes de division distinctes. Pour le premier match, on a N x N choix. On a N choix première division, N choix deuxième division. Donc N x N. Pour le deuxième match, il y a déjà une équipe de première division qui est prise, une équipe de deuxième division qui est prise. Donc il en reste N-1 dans chaque division. Donc on a N-1 x N-1 choix. On continue, on aura N-2 x N-2, etc. On finit avec 1 choix. Pour le dernier tirage au sort, ça nous fait N factoriel au carré possibilité de match. Parce qu'on va avoir à chaque fois N factoriel x N factoriel parce qu'on multiplie le tout. Donc finalement, ce qui nous intéresse, c'est la probabilité. C'est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues totale. Donc ça fait N factoriel au carré sur 2N factoriel sur 2 puissance N. Alors 2 puissance N se retrouve ici. Donc là, ce qu'il faut voir, c'est pas forcément évident de le faire dans ce sens-là, c'est reconnaître que N factoriel au carré sur 2N factoriel, c'est N parmi 2N. Parce que la formule, si on l'écrit, N parmi 2N, ça fait exactement... C'est l'inverse de ça, c'est pour ça qu'il se retrouve en bas de la fraction. Donc voilà, c'est quelque chose qu'il faut reconnaître. Alors on pourrait laisser ça, c'est juste que c'est mieux de l'écrire comme ça pour les simplifications à venir. Donc voilà, pour la possibilité d'avoir pour chaque match une équipe... La probabilité, pardon, pour chaque match d'avoir une équipe de chaque division. Ensuite on nous dit, calculer la probabilité QN que tous les matchs opposent deux équipes de la même division. Donc on va faire un raisonnement similaire. Donc déjà, on suppose que N est paire, parce que sinon, c'est pas possible. Si on a un nombre impair d'équipes dans la première division, on va rencontrer que des équipes de première division parce qu'il manquera une équipe. En fait, il y a une équipe qu'il n'y aura plus personne à rencontrer. Donc voilà, c'est assez clair que N doit être paire, parce que sinon QN vaut 0. Donc N, on l'écrit comme 2K. Donc parmi les 2K matchs, il y a K matchs qui opposent les équipes de première division. On a, pour ces K matchs-là, on a du coup K parmi 2K, et en comptant de même le nombre de tirages entre équipes de première division, parce qu'on sait que c'est le nombre d'équipes de première division, on trouve qu'on a 2K factoriel sur 2 puissance K choix. Idem pour la deuxième division. Donc on a Q2K, qui est QN en fait, qui vaut ce gros truc tout moche, qu'on simplifie. Pareil, je vous laisserai pratiquer pour simplifier ça. 2K parmi 2K sur 2K parmi 4K. Alors 2K parmi 4K, on aurait pu réécrire même là le 2K, on aurait pu laisser N. C'est un peu plus joli. Bon, j'ai préféré laisser des K pour ne pas faire trop de variables. Mais 2K, il ne faut pas oublier que c'est N, et ici on aurait du coup 2N, et là on aurait N. Voilà, comme ça, ça ne sort pas forcément de nulle part. Alors, troisième question. On dit, montrer que pour toute N, plus grand que 1, on a cette inégalité-là. Donc là, c'est pas forcément évident de voir ce qui se passe. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va essayer de voir ce qui se passe avec N parmi 2N. Donc on l'a déjà rencontré ici, le N parmi 2N, ici, on l'a déjà rencontré. Et on va essayer de voir c'est quoi son rapport avec les puissances de 2. Parce qu'à un moment, il va falloir trouver un rapport avec les puissances de 2. Donc, on écrit 2N!, parce que 2N!, il apparaît dans N parmi 2N. 2N!, c'est 2N, fois 2N-1, fois 2N-2, etc. Donc là, si on veut faire apparaître des puissances de 2, il faut regarder tous les facteurs qui vont être pairs dans cette décomposition. Donc là, on laisse les impairs en premier, et on va regarder tous les pairs. Ici, on se retrouve bien avec 2N, 2N-2, 2N-4, etc., c'est tous les facteurs pairs. Et du coup, donc fois 2 fois 1. Donc, si on factorise tout ça, tous les deux, enfin, si on factorise, on n'a que les facteurs, mais si on regroupe tout ça, tous les deux, il y en a N. Donc ça nous fait 2N, fois 2N-1, 2N-3, 2N-5, etc., fois 3, fois 1, fois N!, parce que bien sûr, tout ce qui ne commençait pas par 2N, c'est juste du N!. Donc, on se retrouve avec cette décomposition-là. Donc finalement, N parmi 2N, donc là, le N!, qui est ici, va s'en aller avec 1, parce qu'ici, on n'oublie pas, en dessous, on avait N!, au carré. Donc le N!, qui est ici, va s'en aller avec 1 ici, et donc il reste tout ça, donc 2N, fois 2N-1, 2N-3, etc., sur N!. Alors là, on va utiliser le fait que 2N, bon, c'est très, cette inégalité saute aux yeux, mais c'est juste pour, il faut y penser. Donc 2N-K-1, plus petit que 2N-K, plus petit que 2N-K+, bon, ça saute aux yeux, on ne devrait pas forcément le rappeler, mais c'est pour voir ce qu'on fait comme transformation. Là, la transformation qu'on fait, c'est, en fait, tous ces facteurs-là, on va leur retirer, leur retirer 1. Donc là, histoire d'avoir que des paires, parce qu'on a des impaires, on va avoir que des paires. Donc 2N-2, c'est celui qui est plus petit que 2N-1, 2N-4, c'est celui qui est plus petit que 2N-3, etc., et du coup, on finit avec x2. Au lieu d'avoir x3 ici, on aura juste x2. Donc, finalement, ici, on peut aussi refactoriser par 2. Donc en factorisant, pareil, par 2, on se retrouve avec deux facteurs 2, ça, c'est N-1!, une fois qu'on a, alors factoriser, non, enfin si, factoriser dans chacun des facteurs, on sort un 2, donc ça nous fait 2N fois, tout ce morceau-là, c'est 2N-1 fois N!, pardon, sur N!, donc il reste 2N-1 sur N, et donc 2N-1, 2N-1 sur N, en le multipliant par celui-ci. Donc là, c'est le truc du milieu. Et pareil, on utilise cette formule-là pour rentrer à chaque fois dans nos facteurs, qu'on factorise de même par 2 à chaque fois, parce qu'on n'aura que des facteurs pairs, et on se retrouve par contre avec juste 2N fois N!, qui vont se simplifier les N!, donc on va avoir 2N qui va rester. D'où l'inégalité recherchée ici. Ensuite, question 4, donc, pardon, question 4, je ne l'ai même pas lue, en déduire que, en déduire les limites de Pn et Qn. Alors, du coup, pour Pn, on reprend sa formule et on mineure, vu qu'il était en dessous de l'infraction, on mineure N parmi 2N, par 2N-1 sur N, et bien sûr, c'est plus grand que 0, c'est une probabilité, c'est entre 0 et 1, mais on peut majorer par ce truc-là, et donc après simplification, on trouve que Pn est plus petit que N sur 2N-1, et là, clairement, la limite tend vers 0, donc la limite de Pn tend vers 0, d'après le théorème des gendarmes, etc. Et de même, Qn, on fait pareil, on mineure, pareil, par ce terme-là, et donc on se retrouve avec N sur 2N-1 qui majeure Qn, qui lui aussi va tendre vers 0, donc la limite de Qn, c'est 0 aussi.

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