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Fonctions (3) : Généralités

Dans cet exercice, on utilise l'inégalité des pentes pour montrer certains résultats liés à une fonction convexe. 

Tout d'abord, on suppose que la limite de la fonction, lorsque x tend vers l'infini, est égale à zéro, et on doit montrer que la fonction est positive. On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe un x0 pour lequel la fonction est strictement négative. En utilisant la définition de la limite, on peut trouver un x1 plus grand que x0 tel que la fonction soit comprise entre f(x0) et zéro. Par l'inégalité des pentes, on montre que f(x) est strictement plus grand que cette expression. Cependant, cette expression est une fonction affine avec un coefficient directeur strictement positif, ce qui signifie qu'elle tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini. Cette contradiction montre que la fonction ne peut pas être négative, donc elle est positive pour tout x.

Ensuite, on nous demande de montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. Au lieu d'utiliser la dérivée seconde comme d'habitude, on utilise une approche différente, car on n'a pas d'information sur la dérivabilité de la fonction. On pose une fonction g qui est la somme de la fonction convexe f et de la fonction affine ax + b. On veut montrer l'inégalité de convexité, c'est-à-dire que g(tx + (1-t)y) est plus petit que t(g(2x) + (1-t)g(2y)), où t est un nombre entre 0 et 1. On remplace g par son expression et on réarrange les termes pour obtenir l'inégalité désirée.

Enfin, on suppose que la courbe représentative de f a une asymptote et on doit montrer que la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote. On pose y = x + b comme équation de l'asymptote. On définit g_2(x) comme f_2(x) - ax + b, qui est la différence entre la fonction et l'asymptote. En utilisant le fait que l'asymptote tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, on montre que la limite de g_2(x) est également 0. En utilisant les questions précédentes, où on a montré que g est convexe et positive, on en déduit que f_2(x) est toujours plus grand que ax + b, c'est-à-dire que la courbe de f est toujours au-dessus de son asymptote.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer certains résultats et on va surtout utiliser l'inégalité des pentes. Petit rappel, c'est quoi l'inégalité des pentes ? Si on a une fonction qui est convecte sur un intervalle, on prend trois nombres de cet intervalle dans l'ordre croissant, donc A strictement plus petit que B, strictement plus petit que C, et on a toutes ces inégalités-là, donc c'est les inégalités des pentes, donc en gros, les coefficients directeurs des séquentes. Donc si on prend f de B moins f de A sur B moins A, c'est le plus petit, donc si on prend ces deux-là, c'est plus petit que si on prend le premier et le dernier, qui est plus petit si on prend le deuxième et le troisième. Alors c'est ça qu'on va utiliser. Pour le premier, on nous dit, on suppose que la limite, en plus l'infini de f, c'est zéro, et il faut montrer que f est positif. Alors ça ne saute absolument pas aux yeux que c'est le cas, on va faire un raisonnement par l'absurde, donc on suppose qu'il existe un x0 tel que f de x0 est strictement négatif. On utilise la définition de la limite, étant donné que la limite c'est zéro, en fait il existe un x1 qui est strictement plus grand que x0 tel que f de x1 va être strictement plus grand que f de x0, d'accord ? Parce que, étant donné que la limite c'est zéro, si en x0 on est négatif, ça veut dire qu'on va monter pour atteindre zéro, donc il va exister un x1 plus grand que x0, tel que f de x1 va être, en fait, entre f de x0 et zéro. Ça c'est la définition de la limite, de dire que la limite c'est zéro, c'est exactement ça que ça veut dire. Donc finalement maintenant on prend x qui est plus grand que x1, donc aussi plus grand que x0, on a alors l'inégalité des pentes, donc f de x1 moins f de x0 sur x1 moins x0 plus petit que f de x moins f de x1 sur x moins x1. Alors là le but va être d'isoler f de x, donc en fait on va passer ça de l'autre côté et celui-ci par la suite, donc on a que f de x va être plus grand que ce truc là, mais si on y réfléchit bien, en fait ce truc là c'est une fonction affine. C'est une fonction affine, si on la développe, on voit clairement qu'on a la variable, la seule variable c'est x, et ça ce sera notre coefficient directeur. Le coefficient directeur est strictement positif parce que f de x1 est strictement plus grand que f de x0, et x1 est strictement plus grand que x0, donc ça c'est une fraction positive. Donc notre coefficient directeur est strictement positif, fonction affine, donc la limite de ce truc là, quand x tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini, et vu que c'est plus petit que f de x, en fait par le théorème de comparaison, étant donné que ça, ça tend vers plus l'infini, lui aussi va tendre vers plus l'infini, mais c'est complètement une contradiction parce que notre limite c'est 0. Donc finalement il ne peut pas y avoir de valeur négative de f, donc ça veut dire que pour toute x, f de x est supérieur ou égal à 0. Alors bien sûr, ça c'est vrai quand f est convexe et que sa limite c'est 0. Ensuite on nous dit de montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. Alors contrairement à ce qu'on fait d'habitude pour montrer qu'une fonction est convexe, on ne va pas faire la dérivée seconde parce qu'en fait on n'a aucune information. On sait juste que, donc on va poser une fonction g qui va être la fameuse somme, on sait juste que c'est la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine, mais on ne sait pas si notre fonction est dérivable. Donc en fait partir sur la dérivée seconde, ce serait un peu un terrain glissant. Donc là on va juste essayer de montrer l'inégalité de convexité avec la fonction qu'on créera, et on va voir ce que ça donne. Donc on pose que g de x, c'est la somme d'une fonction f, notre fonction f est convexe, plus ax plus b qui est notre fonction affine, et on pose t qui est un nombre entre 0 et 1. Donc là on veut montrer l'inégalité de convexité, ça veut dire qu'on veut montrer que g de tx plus 1-ty va être plus petit que tg2x plus 1-tg2y. Donc on est parti. Donc là on remplace g par son expression juste au-dessus, donc ça nous fait f de tx plus 1-ty plus a, ici on remplace x par tout ça, donc ça fait a fois tx plus 1-ty plus b, le petit b qui est là. Donc là le b nous gêne un peu, parce qu'on aimerait bien avoir du tg2x et du 1-tg2y, mais pour ça il faudrait qu'on ait du tb et du 1-tb. Du coup ce qu'on va faire c'est que b on va le réécrire comme tb plus 1-tb, parce que ça c'est complètement vrai, si on développe tout ça, ça nous fait juste b, donc c'est juste une façon un peu compliquée de l'écrire, mais qui nous arrange pas mal, parce que là en fait on utilise maintenant la convexité de f, et donc ce truc là ça va être plus petit que ça, donc là f de tx plus 1-ty c'est plus petit que tf2x plus 1-tf2y, et là pour le reste on remplace par ce qu'on avait montré avec le b, et maintenant on va regrouper les termes qui nous intéressent. Donc en vert c'est tout ce qui concerne juste t fois g2x, potentiellement qu'on voudrait faire apparaître, et en rose c'est ce qui concerne 1-t fois g2y. Donc si on remplace tout ça, on se retrouve avec t g2x plus 1-t g2y. Donc on a l'inégalité de convexité, donc finalement g est bien convexe. Ensuite on nous dit, on suppose que la courbe représentative de f admet une asymptote, il faut montrer que la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote. Donc là on va poser y égale à x plus b, l'équation d'une asymptote de f. Alors on va supposer sans perdre de généralité, je vous laisse vous en convaincre, que c'est une asymptote en plus l'infini. Donc là maintenant on va poser g2x qui vaut f2x moins ax plus b. Donc la différence des deux. Alors le principe de l'asymptote, c'est que quand on a ça, ça tend vers 0. Donc la limite de g2x c'est 0, parce que si ça c'est une asymptote, f2x moins ce truc là, ça tend vers 0, en plus l'infini, parce que c'est une asymptote en plus l'infini. Et maintenant on reconnaît que g, c'est une fonction convexe plus une fonction infine. Donc en utilisant la question 2, on sait que g est convexe. Et en utilisant du coup la question 1, on sait que comme g est convexe, sa limite c'est 0, on sait que g est positive. Donc finalement comme g est positive, ça veut dire que pour toute x on a f2x qui est plus grand que ax plus b, ça veut exactement dire que la courbe de f est au-dessus de son asymptote.

Fonctions convexes avec asymptote

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