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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Polynésie 1

Dans cette partie du cours, Leïla explique la déviation d'un astéroïde appelé Apophis et son impact sur la Terre. Elle commence par donner l'expression de la norme de la force exercée par l'engin spatial sur Apophis en fonction de gMd. Cette force est de 0,2 N. Ensuite, elle applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel héliocentrique pour trouver l'expression de Δt en fonction de Δv, qui est Δt= gm/d^2. Elle explique ensuite que les scientifiques ont estimé qu'il fallait augmenter la norme du vecteur vitesse de 2x10^-6 m/s au niveau de l'aphélie, et demande la durée Δt d'utilisation dans ce cas. En faisant les calculs, elle trouve que Δt est égal à 96 heures ou 4 jours. Leïla indique également que l'utilisation du tracteur gravitationnel augmente le rayon de la trajectoire de l'astéroïde, ce qui affecte la période. Elle établit ensuite la troisième loi de Kepler pour Apophis dans le référentiel héliocentrique, en utilisant le principe fondamental de la dynamique et en raisonnant sur les périodes. Elle obtient l'expression R^3/T^2 = GMs/(4π^2). Ensuite, elle détermine la valeur de la période de révolution T' après l'utilisation du tracteur gravitationnel, en prenant en compte une augmentation de 15 minutes. En utilisant la loi de Kepler, elle calcule le nouveau rayon de la trajectoire, qu'elle trouve être 1,37 x 10^11 mètres. Finalement, elle calcule l'écart de rayon, qui est de 3 x 10^6 mètres, pour montrer le changement de trajectoire de l'astéroïde. Leïla conclut en soulignant l'importance de ces concepts pour comprendre les forces gravitationnelles.

Salut, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui, on va faire la partie 2 de l'exercice sur le tracteur gravitationnel. Donc, on a déjà vu ensemble la correction de la partie 1 de cet exercice. C'est l'exercice A d'un sujet de Polynésie qui est tombé en 2022 et c'était le premier jour. Alors, là, le but de cette partie, c'est de regarder ce qui se passe précisément pour la déviation d'une astéroïde qui s'appelle l'astéroïde Apophis. On vous dit qu'elle a préoccupé la communauté scientifique parce qu'elle avait 2,7% de chances d'entrer en collision avec la Terre, ce qui est quand même pas mal quand on y réfléchit. On n'a vraiment pas envie, selon l'endroit où elle peut atterrir, etc., de rentrer en contact avec cette astéroïde. Donc, la première chose qu'on vous demande ici, c'est de donner l'expression de la norme de la force qu'exerce l'engin spatial sur Apophis en fonction de gMd. Je vous renvoie à la première partie de cet exercice si vous ne vous souvenez plus trop du contexte. Ici, il s'agit de donner la force d'interaction gravitationnelle. C'est une formule que l'on connaît vraiment par cœur, par cœur, par cœur. Et du coup, l'expression, c'est gMd sur la distance au carré. Donc ici, si on fait l'application numérique, on trouve que la force exercée par l'engin sur l'astéroïde est de 0,2 N. On vous dit ensuite qu'on applique cette force pour une durée Δt pour obtenir une variation de vitesse Δv et pour pouvoir dévier l'astéroïde comme ça. On vous demande d'appliquer la deuxième loi de Newton dans le référentiel héliocentrique et de donner une expression pour Δt en fonction de Δv. Pour ça, il faut tout simplement appliquer le principe fondamental de la dynamique avec l'expression de la force de E sur A qu'on vient de détailler. Donc si j'applique cette deuxième loi de Newton, ça ne donne que Mdv sur dt, c'est la force de E sur A. Et on avait déjà justifié dans la question 3 que cette force et Δv avaient la même direction et le même sens. Vous vous souvenez, on a dû faire un choix et on a choisi que c'était le cas où ils avaient le même sens. Donc si je projette selon cette direction-là, peu importe quelle est la direction, je peux tout réécrire en termes de normes. Et donc je peux, avec l'aide de la question 4, détailler l'expression de f et ça me donne Δv sur Δt est égal à gm sur d2. Et finalement, je peux isoler Δt pour obtenir l'expression qu'on souhaitait. Ensuite, on dit que les scientifiques ont estimé qu'il suffisait d'augmenter la norme du vecteur vitesse de 2 x 10-6 mètres par seconde au niveau de l'aphélie. L'aphélie, c'est un point particulier au niveau de la trajectoire de l'ellipse de cet astéroïde. Et donc on demande la durée Δt d'utilisation dans ce cas-là. Là, vous vous êtes dit d'une manière un peu étonnante, mais le but c'est de faire l'application numérique de la formule qu'on a eue plus haut. Et donc si je fais l'application numérique, vous avez toutes les valeurs dans l'énoncé en haut. Et du coup, ça nous donne 96 heures fois 4 jours. Alors attention aux conversions des heures, secondes, etc. Parfois, vous avez un peu de mal. Donc gardez en tête qu'une heure, c'est 60 minutes fois 60 secondes. Chaque minute fait 60 secondes et du coup, ça nous fait 3600 secondes. Pour avoir la durée de seconde qu'il y a dans un jour, on multiplie tout ça par 24. Donc, il suffit juste de savoir ça et de faire la conversion après. Vous ne trompez pas, à chaque fois qu'on vous donne des durées, des vitesses, etc. par définition. 100 mètres par seconde, c'est ça l'expression... Enfin, c'est ça l'unité dans le système international, donc c'est celle-ci qu'il faut utiliser. Ensuite, on vous dit que l'utilisation de ce tracteur gravitationnel augmente au genre d'une augmentation du rayon de la trajectoire de l'astéroïde. Et on vous dit que du coup, si le rayon de la trajectoire augmente, alors la période aussi va changer. Et donc ça, ça peut tout simplement éviter l'impact avec la Terre. Jusque là, vous voyez, on a raisonné uniquement sur les vitesses. Dans cette partie-là, on va s'intéresser vraiment aux trajectoires. Tout d'abord, on vous demande d'établir la troisième loi de Kepler pour Apophis dans le référentiel héliocentrique. Je rappelle, je vous l'ai déjà dit, le référentiel héliocentrique, c'est celui qui est centré sur le Soleil. Pour établir la troisième loi de Kepler, vous savez qu'il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique et raisonner sur les périodes. Donc on se place, on étudie toujours le même système, cet astéroïde qui est une masse grand M. Référentiel héliocentrique centré sur le Soleil. Donc je fais un bilan des forces. La seule force que j'ai, parce que tout simplement je néglige toutes les autres, c'est la force d'attraction du Soleil que j'ai notée F de S sur A. Donc là, ce à quoi il faut faire attention, c'est les questions de repères. Il faut bien se placer dans le repère de Freinet. Vous vous souvenez, c'est ce repère circulaire. Pourquoi ? Parce qu'ici, on a un mouvement circulaire, donc il sera beaucoup plus simple de l'étudier si on se place dans le repère de Freinet. Alors je vous ai mis ici ce fameux repère. Donc là, on a le Soleil ici. On a un vecteur radial qui est dans ce sens-là et un vecteur tangentiel qui est dans l'autre sens. Donc la force du Soleil sur A, elle s'exprime exactement de la même manière que la force d'attraction de l'engin sur l'astéroïde qu'on a déjà vu. Et donc c'est GMSM sur R2 porté par le vecteur UR. Une fois que j'ai écrit ça, je peux appliquer la seconde loi de Newton. Et donc je trouve, donc là je suis allée un peu vite dans les calculs, mais c'est les mêmes étapes que précédemment. Je trouve l'expression de l'accélération qui est uniquement radiale. Et donc c'est là qu'il faut utiliser l'expression de l'accélération dans le repère de Freinet que vous devez connaître ou si vous ne la connaissez pas, comme d'habitude, vous pouvez tout à fait savoir comment la redémontrer. Cette accélération, c'est V² sur RUR. Et donc je peux identifier en fait les deux expressions. Pour l'accélération, et je peux les identifier, je trouve l'expression de V². Ce n'est pas tout. Vous savez que la loi de Kepler, elle fait le lien en fait entre le rayon et la période. Donc j'ai beau savoir que du coup j'ai une trajectoire qui parcourt à vitesse constante, comme toutes les trajectoires circulaires, il faut que je fasse le lien avec la période. Donc je sais qu'en une période, mon astéroïde parcourt une distance qui est de 2 pi R. Donc je peux transformer cette vitesse en une distance par une unité de temps et donc ce truc là, ça va me donner 2 pi R sur T. C'est la deuxième expression de la vitesse. Il suffit de réinjecter tout ça, ce qui me donne 4 pi carré R carré sur T carré. Donc ma vitesse au carré est égale à GMS sur R. Ça c'est V². Et donc, moi ce que je veux pour la troisième loi de Kepler, c'est avoir le ratio entre R3 et T2. Et ça me donne R3 sur T2 est égal à grand GMS sur 4 pi. On a d'autres manières d'écrire la loi de Kepler, ce qui est important c'est d'avoir ce R et ce T. J'insiste vraiment sur une démonstration à savoir vraiment refaire par cœur. Vous voyez qu'il y a plusieurs étapes qui ne sont pas faciles. D'abord on fait le PFD, ensuite on se place dans un certain repère, ensuite on raisonne sur les périodes. Donc vraiment, apprenez cette démonstration. Si elle vous a posé problème, n'hésitez pas à la refaire, c'est quelque chose qui tombe assez souvent. Ensuite, on vous demande de déterminer la valeur de la période de révolution T' après l'utilisation du tracteur gravitationnel. Pour ça, il faut remonter un peu dans l'énoncé. On vous dit qu'il y a une augmentation d'environ 15 minutes. Donc tout simplement, T' c'était plus 15 minutes. Et donc à chaque fois, on essaye de convertir en secondes. Ça c'est ce qu'on nous disait pour T. Et du coup là, on trouve que T' c'est 2,79463. Et donc là, vous voyez que ce qui diffère en fait, c'est uniquement à partir de la troisième décimale ici, quand je suis en écriture scientifique. Donc c'est très peu. Pourquoi ? Parce que je me suis placée en secondes, j'ai une très très grande période de révolution. Et donc ça fait finalement assez peu. Si je mets tout ça en écriture scientifique, c'est 15 minutes. Par rapport à ça, on nous demande de calculer la valeur du nouveau rayon de la trajectoire en utilisant la loi de Kepler. Donc là en fait, ce truc là, ça reste valable. Ça, c'est l'ancienne trajectoire. Et de l'autre côté, là j'ai la nouvelle trajectoire. Donc après la déviation. En fait, je n'ai même pas besoin de cette valeur là. Je sais que ce truc là, c'est conservé. Donc je sais qu'en fait, T2 sur R3, ça va être conservé si je change la trajectoire, etc. Et donc là, qu'est-ce que je trouve ? Je trouve que R prime, c'est 1,37 fois 10 puissance 11 mètres. Donc c'est très proche de R. Et vous voyez, c'est un peu la même chose que pour la période. Comme ça, on ne sait pas trop ce que ça veut dire. Donc une alternative pour bien voir précisément ce que ça change, ce changement de trajectoire pour l'astéroïde, c'est de passer au calcul de delta R, qui est en fait de combien est-ce que j'ai été modifié. Donc là, on trouve que delta R, l'écart de rayon, c'est de 3 fois 10 puissance 6 mètres. Vous voyez que c'est quand même un peu plus parlant. Donc c'est ce qu'on nous demandait ici. J'espère que la correction de cet exercice vous aura été utile. Vous voyez qu'on a revu pas mal de notions qui sont essentielles à la compréhension des forces gravitationnelles. La loi de Kepler, le principe fondamental de la dynamique. Donc c'est un exercice extrêmement riche.

Un tracteur gravitationnel pour dévier un astéroïde (2)

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