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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Amérique Sud 1

Dans ce cours, nous abordons le fonctionnement d'un défibrillateur cardiaque implantable. Cette méthode permet de régulariser le rythme cardiaque en appliquant un choc électrique bref au cœur du patient. Le défibrillateur contient une pile au lithium, des circuits électroniques, des condensateurs et des électrodes. Le fonctionnement du défibrillateur se compose de deux phases, une phase de charge du condensateur et une phase de décharge qui permet l'application d'un choc électrique. Nous établissons également une équation différentielle pour la tension UC de T lors de la phase de décharge, qui nous permet de déterminer le temps caractéristique. Enfin, nous représentons l'allure de la tension au bord du condensateur lors d'un cycle complet de charge et de décharge.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans ce troisième exercice, on va aborder un côté plutôt électricité. Alors, l'exercice B s'attarde du coup sur un défibrillateur cardiaque implantable. Les mots clés sont les suivants. Charge et décharge d'un condensateur, temps caractéristique, équation différentielle. Voilà, c'est des notions vraiment très classiques quand on parle d'électricité. Alors, la défibrillation, c'est une méthode utilisée afin de régulariser le rythme cardiaque. Elle consiste à appliquer un choc électrique très bref au cœur du patient. Un défibrillateur interne est un petit boîtier qui est implanté dans le caractère du patient. Et ce boîtier, il comporte trois éléments fondamentaux. Une pile à eau lithium permettant l'apport d'énergie nécessaire en fonctionnant de dispositif. Elle délivre une tension à vide UG qui est égale à 3 volts. Des circuits électroniques permettant, entre autres choses, d'analyser le rythme cardiaque du patient, de reconnaître des troubles et déclencher un choc en cas de nécessité. Des condensateurs qui permettent de stocker l'énergie qui sera délivrée lors d'un choc. Et des électrodes qui relient le dispositif au cœur du patient. Donc, on a le schéma ci-dessous qui représente le tout. Et puis le fonctionnement du défibrillateur se compose en deux phases. Dans cette première phase, l'interrupteur K1 est fermé et K2 est ouvert. Au début de cette phase, pris comme origine détente, le condensateur est déchargé. On parle du condensateur juste ici. C'est le seul condensateur du schéma. On se doute que l'ensemble de l'étude va se porter sur ce condensateur juste ici. Dans la seconde phase, l'interrupteur K2 est fermé. Et puis pendant que K1 est ouvert, c'est dans cette phase que le choc a lieu. La résistance R modélise le comportement écrit du cœur. Ici, la résistance R, c'est simplement, avec cette petite icône, la modélisation du cœur. Si on résume, dans la première phase, K1 est fermé, K2 est ouvert. Tout se passe dans cette première branche. C'est là que le condensateur se charge. Et dans la seconde phase, le condensateur se décharge. C'est là qu'il va être appliqué le choc électrique au niveau du cœur. Les quatre graphiques à la page suivante représentent les évolutions possibles pour la tension au banc du condensateur en fonction du temps déterminé, celui qui correspond à la première phase de fonctionnement en justifiant la réponse. Qu'est-ce qu'on peut dire pour cette cas graphique? Le condensateur est initialement déchargé, donc U en 0 est égal à 0. C'est l'élément C qui nous le dit. Qu'est-ce qu'on peut éliminer? Le graphique 1 et le graphique 2 n'ont pas leur place. Il va ensuite être monté à une tension de plus 800 volts. En effet, regardez ce graphique juste ici. Le montage d'élévateur de tension est égal à 800 volts. Et ici, au niveau du régime permanent, il va être monté, bien sûr, le condensateur à la même tension, donc 800 volts, sans doute. Ainsi, le graphique numéro 4 ne correspond pas. Il s'agit du graphique 3 qui correspond à l'évolution de la tension. Il va être monté à une tension de plus 800 volts, d'après les conventions données. À l'issue de la première phase, la charge du condensateur étant terminée, on passe à la deuxième phase de fonctionnement, celle des charges. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension UC de T lors de cette seconde phase. Établir une équation différentielle, on sait le faire, c'est la méthode classique. On représente bien sûr le schéma du circuit en phase 2, puisqu'il faut ré-agencer tout ça et simplifier pour mieux comprendre. Et on va appliquer la loi des mailles. Avec les différentes tensions ici, on circule dans un sens et on égalise. D'un côté, on a UC, de l'autre, on a UR. D'après la loi des mailles, UC de T égale UR de T. Après, par relation courant tension pour un condensateur. Alors là, attention, il y a une subtilité qu'il ne faut surtout pas louper. En fait, dans un premier temps, dans la première phase, le condensateur va se charger. Donc il va être en convention accepteur. Ainsi, ce n'est pas du tout le cas que dans la deuxième phase, c'est là où il se décharge, donc il est en convention générateur. C'est lui qui produit le courant. C'est pourquoi le courant est dans ce sens-là et le sens de la tension n'est pas anodin. En fait, en convention générateur, on a I de T qui est égal à –C fois d de UC sur dT. Il ne faut pas oublier ça dans la relation courant tension. Pour un condensateur, il faut faire attention à la convention suivante ici, générateur ou accepteur. À partir de là, on a la loi d'Ohm pour relier ce courant justement à UC de T. UR de T est égal à R fois I de T. En passant de l'autre côté, on obtient bien l'équation différentielle vérifiée par UC de T. RC d de UC de T sur dT plus UC de T est égal à 0. C'est une équation différentielle très classique, premier ordre pour un circuit RC. À la date T1, l'interrupteur K2 est fermé. Vérifiez que la solution de cette équation différentielle peut s'écrire sous la forme UC de T qui est égal à A exponentielle de –T moins T1 divisé par tau. Exprimez le temps caractéristique tau en fonction de R et C et calculez sa valeur. Ici, il faut faire attention bien sûr, comme d'habitude, à la grammaire de la question en elle-même. Vérifiez que la solution peut s'écrire sous la forme ainsi. On ne demande pas de résoudre l'équation, on demande de vérifier simplement cette forme de solution. Ce qu'il faut faire, c'est tout simplement l'implémenter et vérifier si l'égalité est respectée. Pour calculer ça, on doit calculer d de UC sur dT. Ça nous donne –1 sur tau fois A exponentielle de –T moins T1 divisé par tau. Si on calcule ce terme ici, ça nous donne –A fois exponentielle de –T moins T1 sur tau plus A fois exponentielle de –T moins T1 divisé par tau. Et donc, c'est égal à 0. Ça, c'est vrai si et seulement si on pose tau, le temps caractéristique, qui est égal à Rc. Effectivement, c'est le temps caractéristique pour un circuit Rc du premier ordre. Donc, effectivement, la relation est bien vérifiée. La solution proposée est solution de l'équation différenciée. La solution peut s'écrire sous la forme UC de T qui est égale à A exponentielle de –T moins T1 divisé par tau avec tau qui est égal à Rc. Et donc, l'application numérique nous donne tau qui est égal à 0,5 millisecondes. Alors, question 4. Déterminer la valeur du paramètre A sachant qu'à l'instant T égale T1, la tension au bord du condensateur UC de T1 vaut 820 V. Donc ici, on est dans la résolution classique où on a déterminé la solution avec une constante qui n'est pas connue. Maintenant, on va la fixer avec cette condition initiale. Alors, pour le traitement des conditions initiales, c'est comme d'habitude. On évalue justement UC en T1. Ça nous donne, en remplaçant directement l'équation A fois exponentielle de 0. A exponentielle de 0, c'est A. Et c'est égal, dans un second temps, on sait, à 800 V d'après l'éroncé. Donc, finalement, on obtient que A est égal à 800 V. Donc, le paramètre A est maintenant connu. Estimer la durée approximative du choc électrique est commentée. Alors, ça, ce n'est pas une question triviale. Ce n'est pas forcément abordé dans tous les cours de tous les profs de lycée. Donc, en fait, qu'est-ce qu'on peut exprimer comme durée approximative du choc électrique? De quel temps est-ce qu'on dispose? Bien dit, on dispose du temps caractéristique. Le temps caractéristique, c'est le temps au bout duquel on a atteint 63 % du régime permanent. Bon. À partir de là, est-ce qu'on peut déterminer une durée du phénomène en lui-même? Eh bien, oui. En fait, par convention, on dit qu'au bout d'un temps de 5 taux, donc 5 fois le temps caractéristique, le régime permanent est atteint. Bon, effectivement, ce n'est pas totalement exactement vrai. Mais on décide par convention qu'à 5 taux, c'est bon, on a largement assez attendu pour que le régime permanent soit établi. Il n'y aura plus que des toutes petites variations. Donc, en calculant, le choc dure environ 2,5 ms. Et c'est cohérent au vu du fait que dans les dossiers, il disait que le choc était très bref. Maintenant, question 6. Donner l'allure de la tension au bord du condensateur en fonction du temps lors d'un cycle complet, charge-décharge du condensateur. Bon, ça, il faut le représenter. On a d'abord une période de charge, donc bien sûr, toujours de manière exponentielle, et puis ensuite de décharge, donc on part du même point et on décroît exponentiellement. Donc, on a réalisé ces deux schémas dans les différents exercices qu'on a pu voir en méthode. Bon, ici, il s'agit simplement de les concaténer, de les mettre l'un après l'autre, puisque l'on a une phase de décharge qui suit une phase de charge. Donc, on obtient ce genre de graphique-là, avec, là, j'ai représenté des vitesses d'accroissement différentes, vu qu'on a des temps caractéristiques qui sont différents. Voilà, c'est la fin de cet exercice d'électricité, qui je pense était très abordable, qui ne reprend que des questions de cours, qui prend un peu de temps, bien sûr, en calcul de base, mais qui se déroule assez bien. C'était une bonne idée. Là, on a vu d'aller mot-clé que ça allait être des notions plutôt classiques, donc bonne idée de se pencher là-dessus. Et puis maintenant, on va attaquer l'exercice C.

Défibrillateur cardiaque implantable

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