Espaces supplémentaires

Dans ce cours sur les espaces vectoriels de dimensions infinies, on nous explique que bien que l'étude complète des dimensions infinies ne soit pas au programme, il est néanmoins important de savoir les gérer lorsqu'ils apparaissent. On nous présente l'exercice de montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergentes vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires dans E, l'ensemble des suites qui convergent. Pour cela, on nous propose une décomposition d'une suite en un élément qui converge vers 0 et un élément constant, et on doit montrer que cette décomposition est unique. En utilisant des raisonnements basiques et en se basant sur des conditions nécessaires et suffisantes, on parvient à trouver cette unique décomposition, prouvant ainsi que les ensembles des suites constantes et des suites convergentes vers 0 sont bien des sous-espaces supplémentaires dans E. On précise également qu'il est important de préciser que cette décomposition est la seule candidate possible, en vérifiant qu'elle satisfait bien les conditions nécessaires et suffisantes. On conclut en soulignant qu'il faut se familiariser avec ce type de raisonnement lorsqu'il n'y a pas de dimension finie, et en encourageant les questions et discussions sur le sujet.