Théorème des gendarmes

Le théorème d'encadrement, également appelé théorème des gendarmes, est l'équivalent du théorème de comparaison pour les limites finies. Ce théorème permet de montrer qu'une suite VN converge vers un réel fini L en la comparant à deux autres suites UN et WN, telle que UN est inférieure à VN et WN. Si les suites VN et WN convergent vers la même limite L, alors la suite UN converge également vers L. Ce théorème est très pratique car il permet d'obtenir des résultats sur les suites sans se soucier des définitions formelles d'ε et d'A. Il peut être illustré avec un exemple tel que la suite sinus n/n, qui peut être difficile à gérer. Cependant, en encadrant cette suite entre les suites 1/n et -1/n, qui convergent toutes les deux vers zéro, on peut conclure que la suite sinus n/n converge également vers zéro. Il est important de noter que tous les cas ne sont pas aussi simples et qu'il est parfois difficile de tirer des conclusions. Cependant, on peut dire de manière intuitive que si deux suites ordonnées UN et VN convergent, alors leurs limites seront également ordonnées, c'est-à-dire que la limite de VN sera inférieure à la limite de VN. En résumé, le théorème d'encadrement permet de prouver que les limites finies des suites en les comparant à des suites inférieures et supérieures convergentes. Cela facilite l'analyse des suites et offre des résultats pratiques.