Encadrer sin(n)

Dans ce cours, nous appliquons les théorèmes de convergence aux fonctions sinus et moins 1 puissance n. Nous étudions la suite un qui est égale à n plus 2 fois sin n. L'exercice nous demande de montrer que pour tout n, un est supérieur à n-2. Pour cela, nous utilisons l'encadrement du sinus entre -1 et 1. Puis nous multiplions par 2 et ajoutons n pour obtenir un. Ainsi, un est compris entre n-2 et n+2. Ce qui nous intéresse vraiment, c'est la partie où un est supérieur à n-2. En utilisant la limite usuelle, nous montrons que n-2 tend vers moins l'infini et que un est plus grand qu'une suite qui tend vers l'infini. Donc, par comparaison, un tend vers l'infini. Dans le deuxième exemple, nous avons la suite Vn qui est égale à moins n carré moins n plus moins 1 puissance n. Nous encadrons encore une fois le moins 1 puissance n entre -1 et 1. En analysant la suite, nous constatons que le terme dominant est moins n carré. Ainsi, le terme moins 1 puissance n ne nous gêne pas beaucoup. Nous démontrons cela par l'encadrement, en ajoutant moins n carré moins n à la suite Vn. Finalement, nous obtenons que Vn est inférieur à une suite qui tend vers moins l'infini. En factorisant et en examinant les limites, nous concluons que Vn tend vers moins l'infini. Ainsi, ces deux exemples nous montrent comment utiliser l'encadrement pour des suites impliquant le sinus ou moins 1 puissance n.