Dérivabilité et Variations

Le cours porte sur l'étude d'une fonction logarithmique. La fonction donnée est ln(2x)/(ln(2x)-1). Elle est définie pour x appartenant à (0, +∞), à l'exception de x = e. Pour étudier cette fonction, on applique la méthode classique de dérivation. La dérivée de la fonction est g'(x) = -2x/(ln(2x)-1)². On observe que g'(x) est strictement négatif sur son domaine de définition. Par contre, il y a une valeur interdite en x = e, où le dénominateur s'annule. Par conséquent, la fonction est décroissante sur (0, e) et sur (e, +∞), mais il y a un décrochage à x = e. Lorsqu'il y a une valeur interdite, il est courant d'avoir une division par zéro, où la fonction diverge vers l'infini positif d'un côté et vers l'infini négatif de l'autre. Ainsi, le tableau de variations complet est obtenu en analysant les limites de g en 0, e-, e+, et +∞. On remarque qu'en 0, g(x) tend vers 1. En e-, g(x) tend vers -∞, tandis qu'en e+, g(x) tend vers +∞. Finalement, en +∞, g(x) tend également vers 1. Le graphe de la fonction présente une asymptote verticale en x = e et une asymptote horizontale en y = 1. La courbe est décroissante jusqu'à x = e, puis remonte vers l'infini. Il est essentiel de noter qu'il y a un saut de -∞ à +∞ à l'asymptote verticale.