Existence et Calcul des Primitives

Dans ce cours, nous abordons quelques théorèmes importants sur l'existence des primitives. Tout d'abord, le premier théorème stipule que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Par exemple, si nous prenons la fonction x², nous pouvons trouver plusieurs types de primitives tels que 3x+2, 3x+5, 3x-pi, etc. Une fois que nous avons trouvé une primitive, nous pouvons en trouver une infinité. Cependant, il est important de noter que l'ensemble de toutes les primitives peut contenir d'autres fonctions que nous n'avons peut-être pas envisagées, mais dans cet exemple, nous avons montré qu'il y en a plus d'une. Le deuxième théorème affirme que pour toute valeur y0 donnée, il existe une unique primitive qui passe exactement par ce point. Par conséquent, si nous fixons un point sur l'axe des ordonnées, il n'y a qu'une seule primitive qui passe par ce point. Par exemple, si nous fixons le point (0,5), il n'y a qu'une seule primitive qui vaudra F(0)=5. Il en va de même pour d'autres points donnés. Il est important de démontrer ces théorèmes, car ils établissent une équivalence entre être une primitive et être de la forme F(x)+k. La démonstration consiste à utiliser une preuve par double implication, où l'on montre que les ensembles des primitives et des fonctions de la forme F(x)+k sont équivalents. En outre, il existe un autre théorème important qui donne les règles de primitives pour des fonctions du type U'+V'. Par exemple, la primitive de U'+V' est U+V, et la primitive de λU' est λU, où λ est une constante. Il est important de mémoriser ces règles, tout comme on mémorise les règles de dérivation. En conclusion, ces théorèmes sont essentiels pour comprendre l'existence des primitives et leurs propriétés. Il est important de les connaître et de comprendre comment les démontrer.