Équation y'=ay+φ

Dans ce cours, nous apprenons comment résoudre une équation différentielle de la forme y' = y + phi. Comparé à l'équation y' = y + b, la différence entre b et phi est que b est une constante tandis que phi est une fonction qui peut varier. Cela rend la résolution un peu plus complexe pour trouver la solution particulière. La méthode générale de résolution reste la même : nous devons d'abord trouver une solution particulière en résolvant l'équation sans l'équation homogène (y' = y), puis nous ajoutons la solution homogène. La différence ici est que nous ne cherchons pas une solution particulière sous forme constante. Pour cela, nous avons besoin d'un petit indice fourni dans l'énoncé. Dans cet exemple, on nous demande de vérifier que la fonction p(x) est une solution de l'équation 2. Nous prenons p(x) comme un polynôme, calculons sa dérivée et vérifions si 2p'(x) + 6p(x) est égal à x^2 + 2x - 1. Après les calculs, nous constatons que p(x) est bien une solution. Ensuite, on nous demande de montrer que si f est une solution de l'équation E, cela équivaut à dire que f - p est une solution de l'équation E'. Nous remplaçons x^2 + 2x - 1 par 2p'(x) + 6p(x) dans l'équation pour montrer cette équivalence. En factorisant, nous obtenons 2f'(x) - 2p'(x) + 6f(x) - 6p(x) = 0. De là, nous obtenons que f - p est une solution de l'équation E', où E' est l'équation homogène. Nous résolvons ensuite l'équation E', qui est une équation différentielle que nous connaissons bien : linéaire à coefficient constant de premier ordre sans seconde membre. Nous l'isolons pour obtenir Y' = -3y et reconnaissons une forme de type Y' = Y avec A = -3. En utilisant ce que nous avons dit précédemment sur f - p, nous isolons f sous la forme A*e^(-3x) + p(x). Finalement, nous trouvons que f est de la forme A*e^(-3x) + (1/6)*x^2 + (2/9)*x - 13/54. Nous remarquons qu'il y a toujours une constante de multiplication inconnue. Pour la trouver, nous aurions besoin de conditions particulières dans la fonction, que nous ne possédons pas ici. Cependant, nous pouvons conclure que les fonctions de la forme A*e^(-3x) + (1/6)*x^2 + (2/9)*x - 13/54 sont toutes des solutions de l'équation différentielle. Cela résume le cours sur la résolution des équations différentielles du type y' = y + phi, où phi est une fonction non constante.