Inegalité de concentration

Salut à tous ! Aujourd'hui, nous allons aborder les inégalités et les concentrations que vous étudierez en terminale. Dans cet exercice, nous devons donner une estimation de la probabilité P(|M-9| ≥ 3), où M est la variable aléatoire moyenne d'un échantillon X1, X2, ..., X40 de variables aléatoires suivant toutes la loi binomiale de paramètres 10 et 0,9. Pour résoudre cet exercice, nous pourrions simplement appliquer l'inégalité de concentration. Cependant, j'ai choisi de redémontrer cette inégalité en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, car cette preuve est très importante. Donc, pour commencer, nous devons vérifier si l'espérance de M est bien égale à 9. En calculant l'espérance de M, qui est égale à l'espérance de X1, X2, ..., X40 divisée par 40, nous trouvons effectivement que l'espérance de M est égale à 9. Ensuite, en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, nous pouvons dire que la probabilité que |M-9| ≥ 3 est inférieure ou égale à la variance de M divisée par 9. Maintenant, nous devons calculer la variance de M. D'après le cours, la variance de M est égale à la variance de X1 divisée par 40. En effectuant les calculs, nous trouvons que la variance de M est égale à 0,0225. Enfin, en divisant cette quantité par 9, nous trouvons que la probabilité que |M-9| ≥ 3 est inférieure ou égale à 0,0025. En résumé, dans cet exercice, en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, nous avons montré que la probabilité que |M-9| ≥ 3 est inférieure ou égale à 0,0025. L'inégalité de concentration, c'est bien l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev.