PGCD et Suite

Dans cet exercice, nous étudions une suite définie par récurrence et nous cherchons à montrer qu'elle est une suite géométrique. La première suite, notée un, est donnée par u0=0, u1=1, et un+2=3un+1-2un. La deuxième suite, notée vn, est définie comme vn=un+1-un. Nous devons déterminer la raison et le premier terme de la suite géométrique vn. Pour montrer que vn est une suite géométrique, nous calculons vn+1 et essayons de l'écrire sous la forme d'un multiple de vn. En utilisant la relation de récurrence pour un, nous obtenons vn+1=2vn. Ainsi, nous avons démontré que vn est une suite géométrique de raison 2 et que le premier terme v0 est égal à 1. Ensuite, nous devons déduire que pour tout entier n, un+1=2(un+1). Cette question peut sembler étrange car elle concerne la suite vn dont nous venons de montrer qu'elle est géométrique. Cependant, il faut remarquer que vn est construite de manière particulière. En fait, vn est la différence entre deux termes consécutifs de la suite un. Nous pouvons alors utiliser une somme télescopique pour trouver une relation entre un et un+1. En effectuant cette somme, nous obtenons un+1=2(un+1). Ainsi, nous avons prouvé que pour tout entier n, un+1 est égal à 2(un+1). Enfin, nous devons déduire que deux termes consécutifs de la suite un sont premiers entre eux. Pour cela, nous utilisons le théorème de Bézout, qui stipule qu'une combinaison linéaire de deux entiers est égale à leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). En utilisant l'égalité un+1=un+1-2un, nous obtenons que le PGCD de un et un+1 est égal à un. Par conséquent, deux termes consécutifs de la suite un sont bien premiers entre eux.