Continuité et suites : Théorème du point fixe

Une application importante de l'étude de la continuité est l'étude des suites. Le théorème du point fixe est un théorème fondamental qui dit que si une suite converge vers une valeur l et qu'une fonction f continue sur un intervalle i, alors f(l) = l. Ce théorème repose sur la définition de la continuité, qui dit que pour que la limite de f(x) lorsque x tend vers a soit égale à f(a), il faut que f soit continue. La démonstration du théorème repose sur l'utilisation de la continuité de f et de la notion de limite. Ensuite, il est important de noter que les comportements de convergence des suites définies de manière récurrente peuvent varier en fonction de la nature de la fonction f: une fonction croissante de type concave peut donner une convergence en escalier, tandis qu'une fonction décroissante de type convexe peut donner une convergence en escargot. Ce rappel conclut la vidéo.