Prolongement par Continuité

Le prolongement par continuité est utilisé dans les cas où une fonction n'est pas définie en un point, mais la limite de la fonction existe et est finie. Dans ce cas, on peut prolonger la fonction en ce point en posant la valeur de la limite comme valeur de la fonction en ce point. Un exemple de ce type de prolongement est la fonction f(x) = x/x. Cette fonction n'est pas définie en 0 à cause du dénominateur, mais on peut la prolonger par continuité en posant f(0) = 1. Ainsi, on obtient une fonction définie et continue en tout point. Dans l'exercice présenté, on nous propose la fonction f(x) = x sin(1/x) pour x différent de 0, avec f(0) = 0. On veut vérifier si cette fonction est bien le prolongement par continuité de la fonction donnée. Pour cela, on observe le graphique de la fonction et on constate qu'elle semble se rapprocher de 0 en 0. On peut conjecturer que la fonction est continue en 0. Pour le prouver, on utilise une astuce en encadrant la fonction sin(1/x) entre -1 et 1. Ensuite, on multiplie par la valeur absolue de x pour obtenir une expression encadrée entre 0 et x. Quand x tend vers 0, cette expression tend vers 0, ce qui nous permet d'utiliser le théorème d'encadrement pour prouver que la limite de la fonction est bien 0. Ainsi, on démontre que la fonction f est continuellement 0, ce qui confirme que c'est bien un prolongement par continuité. En conclusion, le prolongement par continuité est une technique utilisée pour étendre une fonction à un point où elle n'est pas définie, en posant la limite de la fonction comme valeur en ce point. Il est important de vérifier la continuité de la fonction prolongée en utilisant des méthodes telles que l'encadrement et le théorème d'encadrement.