TVI et Fonction Auxiliaire

Le cours aborde le thème du théorème des valeurs intermédiaires en utilisant une fonction complexe. La fonction f(x) = 10x / (e^x + 1) est étudiée, en montrant d'abord que son ensemble de définition est i ici, c'est-à-dire 0 à l'infini. Ensuite, la dérivée de f est calculée, f'(x) = (1 - x) * e^x, en factorisant pour obtenir une fonction g(x) = 1 - x * e^x. L'objectif est de montrer qu'il existe un réel unique alpha tel que g(2alpha) = 0 en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. Pour cela, il est nécessaire d'établir la continuité de g et de montrer sa stricte décroissance. Une calculatrice est utilisée pour trouver une approximation de la valeur de alpha, qui est comprise entre 1,29 et 1,28. Ensuite, le signe de g est déterminé, ce qui permet de déterminer le sens de variation de f. Il est conclu que f est croissante sur 0 à alpha et décroissante à partir de alpha. Les limites de f sont calculées, f(0) = 0 et lim(x→+∞) f(x) = 0. Un graphique de f est tracé pour illustrer ces résultats. Enfin, l'importance de la stricte monotonie dans l'application du théorème des valeurs intermédiaires est soulignée à travers un exemple.