Continuité et suites 1

Dans ce cours, nous nous intéressons à la méthode de calcul de limite pour une suite définie par récurrence. Cette méthode est applicable aux suites dites "en escalier". Pour bien trouver et justifier la limite de ces suites, il est important de vérifier certaines hypothèses. La méthode consiste à considérer une suite définie par une relation de la forme un+1 = f(un), où f est une fonction. Si la suite converge vers une limite L, alors un+1 converge également vers L. En prenant la limite de l'égalité un+1 = f(un), on obtient L = f(L). L est nécessairement un point fixe de l'équation f(x) = x. Il est important de noter que cette propriété est valable uniquement si f est une fonction continue. En utilisant la continuité de f, on peut justifier que la suite converge vers L en montrant que L est le point fixe de f. Si f admet plusieurs points fixes, il faut étudier chaque cas individuellement pour déterminer la limite. Si f n'a pas de point fixe, alors la suite n'a pas de limite. La vidéo donne un exemple concret de suite définie par récurrence, où u0 = 1 et un+1 = u*e^2 - u. On résout l'équation f(x) = x pour trouver les points fixes de cette suite. On trouve que le seul point fixe est x = 0. Comme il a été supposé que la suite converge, la limite de la suite est donc 0. Il est souligné que le premier terme de la suite (u0) a une influence capitale sur sa convergence. Si u0 est positif, la suite converge vers 0, mais si u0 est négatif, la suite diverge vers -∞. Il est donc primordial de tenir compte du premier terme lors de l'étude de convergence des suites définies par récurrence. Enfin, il est démontré l'importance de la continuité de la fonction f pour cette méthode. Un contre-exemple est donné avec une fonction discontinue, où une suite particulière converge vers un réel a sans jamais atteindre a. Il est expliqué que dans ce cas, la limite de f(un) diffère de f(a), ce qui contredit la propriété utilisée dans la méthode. En conclusion, la méthode de calcul de limite pour une suite définie par récurrence en escalier nécessite de vérifier la continuité de la fonction f et prend en compte le premier terme de la suite. La limite de la suite est l'un des points fixes de l'équation f(x) = x. Si cette équation n'a pas de solution, la suite n'a pas de limite.