TVI et expo

Dans ce cours, nous étudions graphiquement le nombre de solutions d'une équation. Nous avons deux fonctions, E-x² et E2x-1. La première est une courbe en cloche classique et la seconde est la fonction exponentielle décalée d'une unité vers le bas. Graphiquement, nous observons une solution approximative à x=0.552. Nous constatons que pour les nombres négatifs, la fonction E-x² est toujours au-dessus de la fonction E2x-1, tandis que pour les nombres positifs, les deux fonctions s'intersectent après un changement de comportement. En utilisant cette intuition graphique, nous pouvons rapidement répondre à certaines questions, telles que démontrer que pour tout nombre réel négatif, la fonction E-x² est supérieure à l'autre. Nous utilisons le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante. Pour les nombres positifs, nous utilisons une méthode classique où nous posons une fonction égale à zéro et montrons qu'elle est strictement décroissante sur R+. Nous déduisons alors qu'il existe une solution unique à l'équation. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons prouver qu'il n'y a pas de solution sur R- et qu'il y a une unique solution sur R+. En conclusion, l'équation a une unique solution sur R, ce qui correspond à l'intuition graphique initiale.